Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14252 / 18419
↖ ↑ ↗
← N 78.069373°
W140.855713°		 ← 63.14 m → N 78.069373°
W140.852966°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.068805°
W140.855713°		 ← 63.14 m →
3 987 m²		 N 78.068805°
W140.852966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108737945556641 y=0.140529632568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108737945556641 × 217)
    floor (0.108737945556641 × 131072)
    floor (14252.5)     		tx = 14252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140529632568359 × 217)
    floor (0.140529632568359 × 131072)
    floor (18419.5)     		ty = 18419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14252 / 18419 ti = "17/14252/18419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14252/18419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14252 ÷ 217
    14252 ÷ 131072     		x = 0.108734130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18419 ÷ 217
    18419 ÷ 131072     		y = 0.140525817871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.78253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45839596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140525817871094 × 2 - 1) × π
    0.718948364257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25864289939819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45839596} λ = -2.45839596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25864289939819))-π/2
    2×atan(9.57009277139156)-π/2
    2×1.46668196311472-π/2
    2.93336392622944-1.57079632675     		φ = 1.36256760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45839596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.855713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36256760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.069373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14252 KachelY 18419 -2.45839596 1.36256760 -140.855713 78.069373
    Oben rechts KachelX + 1 14253 KachelY 18419 -2.45834802 1.36256760 -140.852966 78.069373
    Unten links KachelX 14252 KachelY + 1 18420 -2.45839596 1.36255769 -140.855713 78.068805
    Unten rechts KachelX + 1 14253 KachelY + 1 18420 -2.45834802 1.36255769 -140.852966 78.068805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36256760-1.36255769) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dl = 63.1366099996582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36256760-1.36255769) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dr = 63.1366099996582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45839596--2.45834802) × cos(1.36256760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206727213787066 × 6371000     		do = 63.1398122490115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45839596--2.45834802) × cos(1.36255769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206736909707236 × 6371000     		du = 63.1427736326044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36256760)-sin(1.36255769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206727213787066-0.206736909707236)×R²
    abs(-2.45834802--2.45839596)×9.69592017013854e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.69592017013854e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.69592017013854e-06×40589641000000     		ar = 3986.52718719691m²