Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14251 / 10987
↖ ↑ ↗
← N 50.882243°
W 23.433838°		 ← 770.75 m → N 50.882243°
W 23.422852°		 →
↑
770.76 m
↓
↑
770.76 m
↓
N 50.875311°
W 23.433838°		 ← 770.87 m →
594 112 m²		 N 50.875311°
W 23.422852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434921264648438 y=0.335311889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434921264648438 × 215)
    floor (0.434921264648438 × 32768)
    floor (14251.5)     		tx = 14251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335311889648438 × 215)
    floor (0.335311889648438 × 32768)
    floor (10987.5)     		ty = 10987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14251 / 10987 ti = "15/14251/10987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14251/10987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14251 ÷ 215
    14251 ÷ 32768     		x = 0.434906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10987 ÷ 215
    10987 ÷ 32768     		y = 0.335296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434906005859375 × 2 - 1) × π
    -0.13018798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40899763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335296630859375 × 2 - 1) × π
    0.32940673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03486178899777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40899763} λ = -0.40899763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03486178899777))-π/2
    2×atan(2.8147171838561)-π/2
    2×1.22942949993291-π/2
    2.45885899986583-1.57079632675     		φ = 0.88806267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40899763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.433838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88806267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.882243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14251 KachelY 10987 -0.40899763 0.88806267 -23.433838 50.882243
    Oben rechts KachelX + 1 14252 KachelY 10987 -0.40880588 0.88806267 -23.422852 50.882243
    Unten links KachelX 14251 KachelY + 1 10988 -0.40899763 0.88794169 -23.433838 50.875311
    Unten rechts KachelX + 1 14252 KachelY + 1 10988 -0.40880588 0.88794169 -23.422852 50.875311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88806267-0.88794169) × R
    0.000120980000000048 × 6371000     		dl = 770.763580000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88806267-0.88794169) × R
    0.000120980000000048 × 6371000     		dr = 770.763580000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40899763--0.40880588) × cos(0.88806267) × R
    0.000191749999999991 × 0.630916288871418 × 6371000     		do = 770.752101949625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40899763--0.40880588) × cos(0.88794169) × R
    0.000191749999999991 × 0.631010146697332 × 6371000     		du = 770.866762353681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88806267)-sin(0.88794169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630916288871418-0.631010146697332)×R²
    abs(-0.40880588--0.40899763)×9.38578259142009e-05×R²
    0.000191749999999991×9.38578259142009e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.38578259142009e-05×40589641000000     		ar = 594111.838147894m²