Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14251 / 10986
↖ ↑ ↗
← N 50.889174°
W 23.433838°		 ← 770.64 m → N 50.889174°
W 23.422852°		 →
↑
770.70 m
↓
↑
770.70 m
↓
N 50.882243°
W 23.433838°		 ← 770.75 m →
593 974 m²		 N 50.882243°
W 23.422852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434921264648438 y=0.335281372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434921264648438 × 215)
    floor (0.434921264648438 × 32768)
    floor (14251.5)     		tx = 14251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335281372070312 × 215)
    floor (0.335281372070312 × 32768)
    floor (10986.5)     		ty = 10986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14251 / 10986 ti = "15/14251/10986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14251/10986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14251 ÷ 215
    14251 ÷ 32768     		x = 0.434906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10986 ÷ 215
    10986 ÷ 32768     		y = 0.33526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434906005859375 × 2 - 1) × π
    -0.13018798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.40899763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33526611328125 × 2 - 1) × π
    0.3294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03505353659625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40899763} λ = -0.40899763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03505353659625))-π/2
    2×atan(2.81525695086436)-π/2
    2×1.22948998377503-π/2
    2.45897996755005-1.57079632675     		φ = 0.88818364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40899763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.433838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88818364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.889174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14251 KachelY 10986 -0.40899763 0.88818364 -23.433838 50.889174
    Oben rechts KachelX + 1 14252 KachelY 10986 -0.40880588 0.88818364 -23.422852 50.889174
    Unten links KachelX 14251 KachelY + 1 10987 -0.40899763 0.88806267 -23.433838 50.882243
    Unten rechts KachelX + 1 14252 KachelY + 1 10987 -0.40880588 0.88806267 -23.422852 50.882243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88818364-0.88806267) × R
    0.000120969999999998 × 6371000     		dl = 770.699869999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88818364-0.88806267) × R
    0.000120969999999998 × 6371000     		dr = 770.699869999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40899763--0.40880588) × cos(0.88818364) × R
    0.000191749999999991 × 0.630822429570585 × 6371000     		do = 770.637439743749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40899763--0.40880588) × cos(0.88806267) × R
    0.000191749999999991 × 0.630916288871418 × 6371000     		du = 770.752101949625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88818364)-sin(0.88806267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630822429570585-0.630916288871418)×R²
    abs(-0.40880588--0.40899763)×9.38593008337207e-05×R²
    0.000191749999999991×9.38593008337207e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.38593008337207e-05×40589641000000     		ar = 593974.3604251m²