Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14250 / 18331
↖ ↑ ↗
← N 78.119236°
W140.861206°		 ← 62.87 m → N 78.119236°
W140.858460°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.118670°
W140.861206°		 ← 62.87 m →
3 953 m²		 N 78.118670°
W140.858460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108722686767578 y=0.139858245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108722686767578 × 217)
    floor (0.108722686767578 × 131072)
    floor (14250.5)     		tx = 14250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139858245849609 × 217)
    floor (0.139858245849609 × 131072)
    floor (18331.5)     		ty = 18331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14250 / 18331 ti = "17/14250/18331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14250/18331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14250 ÷ 217
    14250 ÷ 131072     		x = 0.108718872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18331 ÷ 217
    18331 ÷ 131072     		y = 0.139854431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108718872070312 × 2 - 1) × π
    -0.782562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45849183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139854431152344 × 2 - 1) × π
    0.720291137695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.26286134656475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45849183} λ = -2.45849183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26286134656475))-π/2
    2×atan(9.61054897330781)-π/2
    2×1.46711709838583-π/2
    2.93423419677166-1.57079632675     		φ = 1.36343787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45849183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.861206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36343787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.119236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14250 KachelY 18331 -2.45849183 1.36343787 -140.861206 78.119236
    Oben rechts KachelX + 1 14251 KachelY 18331 -2.45844390 1.36343787 -140.858460 78.119236
    Unten links KachelX 14250 KachelY + 1 18332 -2.45849183 1.36342800 -140.861206 78.118670
    Unten rechts KachelX + 1 14251 KachelY + 1 18332 -2.45844390 1.36342800 -140.858460 78.118670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36343787-1.36342800) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36343787-1.36342800) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45849183--2.45844390) × cos(1.36343787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205875664643281 × 6371000     		do = 62.86661088311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45849183--2.45844390) × cos(1.36342800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205885323199669 × 6371000     		du = 62.8695602394956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36343787)-sin(1.36342800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205875664643281-0.205885323199669)×R²
    abs(-2.45844390--2.45849183)×9.65855638832003e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.65855638832003e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.65855638832003e-06×40589641000000     		ar = 3953.25649659143m²