Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14249 / 10990
↖ ↑ ↗
← N 50.861444°
W 23.455810°		 ← 771.06 m → N 50.861444°
W 23.444824°		 →
↑
771.15 m
↓
↑
771.15 m
↓
N 50.854509°
W 23.455810°		 ← 771.17 m →
594 641 m²		 N 50.854509°
W 23.444824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434860229492188 y=0.335403442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434860229492188 × 215)
    floor (0.434860229492188 × 32768)
    floor (14249.5)     		tx = 14249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335403442382812 × 215)
    floor (0.335403442382812 × 32768)
    floor (10990.5)     		ty = 10990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14249 / 10990 ti = "15/14249/10990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14249/10990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14249 ÷ 215
    14249 ÷ 32768     		x = 0.434844970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10990 ÷ 215
    10990 ÷ 32768     		y = 0.33538818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.13031005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.40938112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33538818359375 × 2 - 1) × π
    0.3292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03428654620233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40938112} λ = -0.40938112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03428654620233))-π/2
    2×atan(2.81309850368657)-π/2
    2×1.22924799441255-π/2
    2.4584959888251-1.57079632675     		φ = 0.88769966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40938112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.455810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88769966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.861444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14249 KachelY 10990 -0.40938112 0.88769966 -23.455810 50.861444
    Oben rechts KachelX + 1 14250 KachelY 10990 -0.40918938 0.88769966 -23.444824 50.861444
    Unten links KachelX 14249 KachelY + 1 10991 -0.40938112 0.88757862 -23.455810 50.854509
    Unten rechts KachelX + 1 14250 KachelY + 1 10991 -0.40918938 0.88757862 -23.444824 50.854509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88769966-0.88757862) × R
    0.000121040000000017 × 6371000     		dl = 771.145840000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88769966-0.88757862) × R
    0.000121040000000017 × 6371000     		dr = 771.145840000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40938112--0.40918938) × cos(0.88769966) × R
    0.000191739999999996 × 0.63119788893462 × 6371000     		do = 771.055902022151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40938112--0.40918938) × cos(0.88757862) × R
    0.000191739999999996 × 0.631291765577097 × 6371000     		du = 771.170579432379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88769966)-sin(0.88757862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63119788893462-0.631291765577097)×R²
    abs(-0.40918938--0.40938112)×9.38766424772863e-05×R²
    0.000191739999999996×9.38766424772863e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.38766424772863e-05×40589641000000     		ar = 594640.768482162m²