Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14248 / 18422
↖ ↑ ↗
← N 78.067669°
W140.866699°		 ← 63.15 m → N 78.067669°
W140.863953°		 →
↑
63.14 m
↓
↑
63.14 m
↓
N 78.067102°
W140.866699°		 ← 63.15 m →
3 987 m²		 N 78.067102°
W140.863953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108707427978516 y=0.140552520751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108707427978516 × 217)
    floor (0.108707427978516 × 131072)
    floor (14248.5)     		tx = 14248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140552520751953 × 217)
    floor (0.140552520751953 × 131072)
    floor (18422.5)     		ty = 18422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14248 / 18422 ti = "17/14248/18422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14248/18422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14248 ÷ 217
    14248 ÷ 131072     		x = 0.10870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18422 ÷ 217
    18422 ÷ 131072     		y = 0.140548706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10870361328125 × 2 - 1) × π
    -0.7825927734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45858771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140548706054688 × 2 - 1) × π
    0.718902587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25849908869933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45858771} λ = -2.45858771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25849908869933))-π/2
    2×atan(9.56871658861922)-π/2
    2×1.46666709727632-π/2
    2.93333419455264-1.57079632675     		φ = 1.36253787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45858771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.866699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36253787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.067669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14248 KachelY 18422 -2.45858771 1.36253787 -140.866699 78.067669
    Oben rechts KachelX + 1 14249 KachelY 18422 -2.45853977 1.36253787 -140.863953 78.067669
    Unten links KachelX 14248 KachelY + 1 18423 -2.45858771 1.36252796 -140.866699 78.067102
    Unten rechts KachelX + 1 14249 KachelY + 1 18423 -2.45853977 1.36252796 -140.863953 78.067102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36253787-1.36252796) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dl = 63.1366099996582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36253787-1.36252796) × R
    9.90999999994635e-06 × 6371000     		dr = 63.1366099996582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45858771--2.45853977) × cos(1.36253787) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.206756301486666 × 6371000     		do = 63.1486963817717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45858771--2.45853977) × cos(1.36252796) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.206765997345924 × 6371000     		du = 63.1516577467603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36253787)-sin(1.36252796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206756301486666-0.206765997345924)×R²
    abs(-2.45853977--2.45858771)×9.695859257558e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.695859257558e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.695859257558e-06×40589641000000     		ar = 3987.08810075165m²