Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14248 / 10056
↖ ↑ ↗
← N 77.068954°
W101.733398°		 ← 136.68 m → N 77.068954°
W101.727905°		 →
↑
136.66 m
↓
↑
136.66 m
↓
N 77.067725°
W101.733398°		 ← 136.69 m →
18 679 m²		 N 77.067725°
W101.727905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217414855957031 y=0.153450012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217414855957031 × 216)
    floor (0.217414855957031 × 65536)
    floor (14248.5)     		tx = 14248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153450012207031 × 216)
    floor (0.153450012207031 × 65536)
    floor (10056.5)     		ty = 10056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14248 / 10056 ti = "16/14248/10056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14248/10056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14248 ÷ 216
    14248 ÷ 65536     		x = 0.2174072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10056 ÷ 216
    10056 ÷ 65536     		y = 0.1534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2174072265625 × 2 - 1) × π
    -0.565185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77558276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1534423828125 × 2 - 1) × π
    0.693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17748572834143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77558276} λ = -1.77558276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17748572834143))-π/2
    2×atan(8.82409217942885)-π/2
    2×1.45795165877878-π/2
    2.91590331755756-1.57079632675     		φ = 1.34510699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77558276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.733398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34510699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.068954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14248 KachelY 10056 -1.77558276 1.34510699 -101.733398 77.068954
    Oben rechts KachelX + 1 14249 KachelY 10056 -1.77548689 1.34510699 -101.727905 77.068954
    Unten links KachelX 14248 KachelY + 1 10057 -1.77558276 1.34508554 -101.733398 77.067725
    Unten rechts KachelX + 1 14249 KachelY + 1 10057 -1.77548689 1.34508554 -101.727905 77.067725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34510699-1.34508554) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dl = 136.657949999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34510699-1.34508554) × R
    2.14499999999784e-05 × 6371000     		dr = 136.657949999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77558276--1.77548689) × cos(1.34510699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223778270515558 × 6371000     		do = 136.681030822652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77558276--1.77548689) × cos(1.34508554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.223799176493793 × 6371000     		du = 136.693799938478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34510699)-sin(1.34508554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223778270515558-0.223799176493793)×R²
    abs(-1.77548689--1.77558276)×2.09059782350363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09059782350363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09059782350363e-05×40589641000000     		ar = 18679.4219773144m²