Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 14247 / 18595
↖ ↑ ↗
← N 61.177681°
W101.738892°		 ← 294.49 m → N 61.177681°
W101.733398°		 →
↑
294.47 m
↓
↑
294.47 m
↓
N 61.175033°
W101.738892°		 ← 294.51 m →
86 721 m²		 N 61.175033°
W101.733398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217399597167969 y=0.283744812011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217399597167969 × 216)
    floor (0.217399597167969 × 65536)
    floor (14247.5)     		tx = 14247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283744812011719 × 216)
    floor (0.283744812011719 × 65536)
    floor (18595.5)     		ty = 18595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14247 / 18595 ti = "16/14247/18595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14247/18595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14247 ÷ 216
    14247 ÷ 65536     		x = 0.217391967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18595 ÷ 216
    18595 ÷ 65536     		y = 0.283737182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217391967773438 × 2 - 1) × π
    -0.565216064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.77567864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.283737182617188 × 2 - 1) × π
    0.432525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.35881935663011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77567864} λ = -1.77567864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.35881935663011))-π/2
    2×atan(3.89159600142577)-π/2
    2×1.31927414449503-π/2
    2.63854828899007-1.57079632675     		φ = 1.06775196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77567864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.738892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06775196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.177681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14247 KachelY 18595 -1.77567864 1.06775196 -101.738892 61.177681
    Oben rechts KachelX + 1 14248 KachelY 18595 -1.77558276 1.06775196 -101.733398 61.177681
    Unten links KachelX 14247 KachelY + 1 18596 -1.77567864 1.06770574 -101.738892 61.175033
    Unten rechts KachelX + 1 14248 KachelY + 1 18596 -1.77558276 1.06770574 -101.733398 61.175033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06775196-1.06770574) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dl = 294.467619999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06775196-1.06770574) × R
    4.62199999999857e-05 × 6371000     		dr = 294.467619999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77567864--1.77558276) × cos(1.06775196) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.482094995991684 × 6371000     		do = 294.488441801921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77567864--1.77558276) × cos(1.06770574) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.482135489694599 × 6371000     		du = 294.513177440278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06775196)-sin(1.06770574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.482094995991684-0.482135489694599)×R²
    abs(-1.77558276--1.77567864)×4.04937029152563e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.04937029152563e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.04937029152563e-05×40589641000000     		ar = 86720.9525127593m²