Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14247 / 18342
↖ ↑ ↗
← N 78.113014°
W140.869446°		 ← 62.90 m → N 78.113014°
W140.866699°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.112448°
W140.869446°		 ← 62.90 m →
3 955 m²		 N 78.112448°
W140.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108699798583984 y=0.139942169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108699798583984 × 217)
    floor (0.108699798583984 × 131072)
    floor (14247.5)     		tx = 14247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139942169189453 × 217)
    floor (0.139942169189453 × 131072)
    floor (18342.5)     		ty = 18342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14247 / 18342 ti = "17/14247/18342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14247/18342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14247 ÷ 217
    14247 ÷ 131072     		x = 0.108695983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18342 ÷ 217
    18342 ÷ 131072     		y = 0.139938354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108695983886719 × 2 - 1) × π
    -0.782608032226562 × 3.1415926535     		Λ = -2.45863564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139938354492188 × 2 - 1) × π
    0.720123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26233404066893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45863564} λ = -2.45863564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26233404066893))-π/2
    2×atan(9.60548261005112)-π/2
    2×1.46706280465319-π/2
    2.93412560930639-1.57079632675     		φ = 1.36332928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45863564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.869446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36332928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.113014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14247 KachelY 18342 -2.45863564 1.36332928 -140.869446 78.113014
    Oben rechts KachelX + 1 14248 KachelY 18342 -2.45858771 1.36332928 -140.866699 78.113014
    Unten links KachelX 14247 KachelY + 1 18343 -2.45863564 1.36331941 -140.869446 78.112448
    Unten rechts KachelX + 1 14248 KachelY + 1 18343 -2.45858771 1.36331941 -140.866699 78.112448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36332928-1.36331941) × R
    9.87000000018945e-06 × 6371000     		dl = 62.881770001207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36332928-1.36331941) × R
    9.87000000018945e-06 × 6371000     		dr = 62.881770001207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45863564--2.45858771) × cos(1.36332928) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.205981927231394 × 6371000     		do = 62.8990594421466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45863564--2.45858771) × cos(1.36331941) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.205991585567067 × 6371000     		du = 62.9020087311339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36332928)-sin(1.36331941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205981927231394-0.205991585567067)×R²
    abs(-2.45858771--2.45863564)×9.658335672319e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.658335672319e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.658335672319e-06×40589641000000     		ar = 3955.29691739485m²