Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14246 / 7286
↖ ↑ ↗
← N 70.177653°
W 23.488770°		 ← 414.26 m → N 70.177653°
W 23.477783°		 →
↑
414.31 m
↓
↑
414.31 m
↓
N 70.173927°
W 23.488770°		 ← 414.34 m →
171 648 m²		 N 70.173927°
W 23.477783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434768676757812 y=0.222366333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434768676757812 × 215)
    floor (0.434768676757812 × 32768)
    floor (14246.5)     		tx = 14246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222366333007812 × 215)
    floor (0.222366333007812 × 32768)
    floor (7286.5)     		ty = 7286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14246 / 7286 ti = "15/14246/7286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14246/7286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14246 ÷ 215
    14246 ÷ 32768     		x = 0.43475341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7286 ÷ 215
    7286 ÷ 32768     		y = 0.22235107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43475341796875 × 2 - 1) × π
    -0.1304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.40995637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22235107421875 × 2 - 1) × π
    0.5552978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74451965097308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.40995637} λ = -0.40995637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74451965097308))-π/2
    2×atan(5.72315170469709)-π/2
    2×1.3978137170362-π/2
    2.7956274340724-1.57079632675     		φ = 1.22483111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.40995637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.488770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22483111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.177653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14246 KachelY 7286 -0.40995637 1.22483111 -23.488770 70.177653
    Oben rechts KachelX + 1 14247 KachelY 7286 -0.40976462 1.22483111 -23.477783 70.177653
    Unten links KachelX 14246 KachelY + 1 7287 -0.40995637 1.22476608 -23.488770 70.173927
    Unten rechts KachelX + 1 14247 KachelY + 1 7287 -0.40976462 1.22476608 -23.477783 70.173927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22483111-1.22476608) × R
    6.50300000000215e-05 × 6371000     		dl = 414.306130000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22483111-1.22476608) × R
    6.50300000000215e-05 × 6371000     		dr = 414.306130000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.40995637--0.40976462) × cos(1.22483111) × R
    0.000191749999999991 × 0.339104861399521 × 6371000     		do = 414.263808551444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.40995637--0.40976462) × cos(1.22476608) × R
    0.000191749999999991 × 0.339166037562691 × 6371000     		du = 414.338543753537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22483111)-sin(1.22476608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339104861399521-0.339166037562691)×R²
    abs(-0.40976462--0.40995637)×6.11761631700292e-05×R²
    0.000191749999999991×6.11761631700292e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.11761631700292e-05×40589641000000     		ar = 171647.517006245m²