Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14244 / 18531
↖ ↑ ↗
← N 78.005612°
W140.877686°		 ← 63.47 m → N 78.005612°
W140.874939°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.005042°
W140.877686°		 ← 63.48 m →
4 028 m²		 N 78.005042°
W140.874939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108676910400391 y=0.141384124755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108676910400391 × 217)
    floor (0.108676910400391 × 131072)
    floor (14244.5)     		tx = 14244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141384124755859 × 217)
    floor (0.141384124755859 × 131072)
    floor (18531.5)     		ty = 18531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14244 / 18531 ti = "17/14244/18531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14244/18531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14244 ÷ 217
    14244 ÷ 131072     		x = 0.108673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18531 ÷ 217
    18531 ÷ 131072     		y = 0.141380310058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.78265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45877946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141380310058594 × 2 - 1) × π
    0.717239379882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25327396664074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45877946} λ = -2.45877946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25327396664074))-π/2
    2×atan(9.51884927136536)-π/2
    2×1.4661255508474-π/2
    2.93225110169481-1.57079632675     		φ = 1.36145477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45877946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.877686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36145477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.005612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14244 KachelY 18531 -2.45877946 1.36145477 -140.877686 78.005612
    Oben rechts KachelX + 1 14245 KachelY 18531 -2.45873152 1.36145477 -140.874939 78.005612
    Unten links KachelX 14244 KachelY + 1 18532 -2.45877946 1.36144481 -140.877686 78.005042
    Unten rechts KachelX + 1 14245 KachelY + 1 18532 -2.45873152 1.36144481 -140.874939 78.005042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36145477-1.36144481) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dl = 63.4551599991369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36145477-1.36144481) × R
    9.95999999986452e-06 × 6371000     		dr = 63.4551599991369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45877946--2.45873152) × cos(1.36145477) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207815876893823 × 6371000     		do = 63.4723179840032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45877946--2.45873152) × cos(1.36144481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207825619436414 × 6371000     		du = 63.4752936072834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36145477)-sin(1.36144481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207815876893823-0.207825619436414)×R²
    abs(-2.45873152--2.45877946)×9.74254259047957e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.74254259047957e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.74254259047957e-06×40589641000000     		ar = 4027.74050248376m²