Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14244 / 18460
↖ ↑ ↗
← N 78.046071°
W140.877686°		 ← 63.26 m → N 78.046071°
W140.874939°		 →
↑
63.20 m
↓
↑
63.20 m
↓
N 78.045502°
W140.877686°		 ← 63.26 m →
3 998 m²		 N 78.045502°
W140.874939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108676910400391 y=0.140842437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108676910400391 × 217)
    floor (0.108676910400391 × 131072)
    floor (14244.5)     		tx = 14244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140842437744141 × 217)
    floor (0.140842437744141 × 131072)
    floor (18460.5)     		ty = 18460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14244 / 18460 ti = "17/14244/18460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14244/18460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14244 ÷ 217
    14244 ÷ 131072     		x = 0.108673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18460 ÷ 217
    18460 ÷ 131072     		y = 0.140838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.78265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45877946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140838623046875 × 2 - 1) × π
    0.71832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25667748651376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45877946} λ = -2.45877946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25667748651376))-π/2
    2×atan(9.55130205955593)-π/2
    2×1.46647861550328-π/2
    2.93295723100656-1.57079632675     		φ = 1.36216090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45877946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.877686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36216090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.046071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14244 KachelY 18460 -2.45877946 1.36216090 -140.877686 78.046071
    Oben rechts KachelX + 1 14245 KachelY 18460 -2.45873152 1.36216090 -140.874939 78.046071
    Unten links KachelX 14244 KachelY + 1 18461 -2.45877946 1.36215098 -140.877686 78.045502
    Unten rechts KachelX + 1 14245 KachelY + 1 18461 -2.45873152 1.36215098 -140.874939 78.045502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36216090-1.36215098) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dl = 63.200319999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36216090-1.36215098) × R
    9.91999999988558e-06 × 6371000     		dr = 63.200319999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45877946--2.45873152) × cos(1.36216090) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207125111397893 × 6371000     		do = 63.2613404212425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45877946--2.45873152) × cos(1.36215098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207134816267173 × 6371000     		du = 63.2643045381239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36216090)-sin(1.36215098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207125111397893-0.207134816267173)×R²
    abs(-2.45873152--2.45877946)×9.70486928000835e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.70486928000835e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.70486928000835e-06×40589641000000     		ar = 3998.23062477599m²