Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14244 / 18339
↖ ↑ ↗
← N 78.114711°
W140.877686°		 ← 62.90 m → N 78.114711°
W140.874939°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.114145°
W140.877686°		 ← 62.91 m →
3 956 m²		 N 78.114145°
W140.874939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108676910400391 y=0.139919281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108676910400391 × 217)
    floor (0.108676910400391 × 131072)
    floor (14244.5)     		tx = 14244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139919281005859 × 217)
    floor (0.139919281005859 × 131072)
    floor (18339.5)     		ty = 18339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14244 / 18339 ti = "17/14244/18339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14244/18339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14244 ÷ 217
    14244 ÷ 131072     		x = 0.108673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18339 ÷ 217
    18339 ÷ 131072     		y = 0.139915466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.78265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45877946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139915466308594 × 2 - 1) × π
    0.720169067382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.26247785136779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45877946} λ = -2.45877946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26247785136779))-π/2
    2×atan(9.60686408055089)-π/2
    2×1.46707761481335-π/2
    2.9341552296267-1.57079632675     		φ = 1.36335890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45877946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.877686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36335890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.114711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14244 KachelY 18339 -2.45877946 1.36335890 -140.877686 78.114711
    Oben rechts KachelX + 1 14245 KachelY 18339 -2.45873152 1.36335890 -140.874939 78.114711
    Unten links KachelX 14244 KachelY + 1 18340 -2.45877946 1.36334903 -140.877686 78.114145
    Unten rechts KachelX + 1 14245 KachelY + 1 18340 -2.45873152 1.36334903 -140.874939 78.114145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36335890-1.36334903) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36335890-1.36334903) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45877946--2.45873152) × cos(1.36335890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205952942318366 × 6371000     		do = 62.9033298127231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45877946--2.45873152) × cos(1.36334903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205962600714254 × 6371000     		du = 62.9062797354344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36335890)-sin(1.36334903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205952942318366-0.205962600714254)×R²
    abs(-2.45873152--2.45877946)×9.65839588798478e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.65839588798478e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.65839588798478e-06×40589641000000     		ar = 3955.56546571927m²