Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14243 / 7261
↖ ↑ ↗
← N 70.270581°
W 23.521729°		 ← 412.40 m → N 70.270581°
W 23.510742°		 →
↑
412.46 m
↓
↑
412.46 m
↓
N 70.266872°
W 23.521729°		 ← 412.47 m →
170 113 m²		 N 70.266872°
W 23.510742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434677124023438 y=0.221603393554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434677124023438 × 215)
    floor (0.434677124023438 × 32768)
    floor (14243.5)     		tx = 14243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221603393554688 × 215)
    floor (0.221603393554688 × 32768)
    floor (7261.5)     		ty = 7261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14243 / 7261 ti = "15/14243/7261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14243/7261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14243 ÷ 215
    14243 ÷ 32768     		x = 0.434661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7261 ÷ 215
    7261 ÷ 32768     		y = 0.221588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.13067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41053161
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221588134765625 × 2 - 1) × π
    0.55682373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74931334093509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41053161} λ = -0.41053161}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74931334093509))-π/2
    2×atan(5.75065258225234)-π/2
    2×1.39862466853974-π/2
    2.79724933707948-1.57079632675     		φ = 1.22645301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41053161} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.521729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22645301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.270581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14243 KachelY 7261 -0.41053161 1.22645301 -23.521729 70.270581
    Oben rechts KachelX + 1 14244 KachelY 7261 -0.41033986 1.22645301 -23.510742 70.270581
    Unten links KachelX 14243 KachelY + 1 7262 -0.41053161 1.22638827 -23.521729 70.266872
    Unten rechts KachelX + 1 14244 KachelY + 1 7262 -0.41033986 1.22638827 -23.510742 70.266872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22645301-1.22638827) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dl = 412.458540000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22645301-1.22638827) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dr = 412.458540000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41053161--0.41033986) × cos(1.22645301) × R
    0.000191749999999991 × 0.337578615926993 × 6371000     		do = 412.399287177069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41053161--0.41033986) × cos(1.22638827) × R
    0.000191749999999991 × 0.337639554809156 × 6371000     		du = 412.47373250737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22645301)-sin(1.22638827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337578615926993-0.337639554809156)×R²
    abs(-0.41033986--0.41053161)×6.09388821626866e-05×R²
    0.000191749999999991×6.09388821626866e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.09388821626866e-05×40589641000000     		ar = 170112.960751563m²