Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14243 / 2147
↖ ↑ ↗
← N 78.754945°
E132.956543°		 ← 476.44 m → N 78.754945°
E132.978516°		 →
↑
476.55 m
↓
↑
476.55 m
↓
N 78.750659°
E132.956543°		 ← 476.62 m →
227 091 m²		 N 78.750659°
E132.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869354248046875 y=0.131072998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869354248046875 × 214)
    floor (0.869354248046875 × 16384)
    floor (14243.5)     		tx = 14243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131072998046875 × 214)
    floor (0.131072998046875 × 16384)
    floor (2147.5)     		ty = 2147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14243 / 2147 ti = "14/14243/2147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14243/2147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14243 ÷ 214
    14243 ÷ 16384     		x = 0.86932373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2147 ÷ 214
    2147 ÷ 16384     		y = 0.13104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86932373046875 × 2 - 1) × π
    0.7386474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32052944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13104248046875 × 2 - 1) × π
    0.7379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31822846562592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32052944} λ = 2.32052944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31822846562592))-π/2
    2×atan(10.1576637071684)-π/2
    2×1.47266470639516-π/2
    2.94532941279033-1.57079632675     		φ = 1.37453309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32052944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37453309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.754945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14243 KachelY 2147 2.32052944 1.37453309 132.956543 78.754945
    Oben rechts KachelX + 1 14244 KachelY 2147 2.32091293 1.37453309 132.978516 78.754945
    Unten links KachelX 14243 KachelY + 1 2148 2.32052944 1.37445829 132.956543 78.750659
    Unten rechts KachelX + 1 14244 KachelY + 1 2148 2.32091293 1.37445829 132.978516 78.750659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37453309-1.37445829) × R
    7.47999999999305e-05 × 6371000     		dl = 476.550799999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37453309-1.37445829) × R
    7.47999999999305e-05 × 6371000     		dr = 476.550799999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32052944-2.32091293) × cos(1.37453309) × R
    0.000383489999999931 × 0.19500567554342 × 6371000     		do = 476.44075062154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32052944-2.32091293) × cos(1.37445829) × R
    0.000383489999999931 × 0.195079038995934 × 6371000     		du = 476.619993293768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37453309)-sin(1.37445829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19500567554342-0.195079038995934)×R²
    abs(2.32091293-2.32052944)×7.33634525142135e-05×R²
    0.000383489999999931×7.33634525142135e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.33634525142135e-05×40589641000000     		ar = 227090.930085842m²