Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14243 / 2146
↖ ↑ ↗
← N 78.759229°
E132.956543°		 ← 476.26 m → N 78.759229°
E132.978516°		 →
↑
476.36 m
↓
↑
476.36 m
↓
N 78.754945°
E132.956543°		 ← 476.44 m →
226 914 m²		 N 78.754945°
E132.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869354248046875 y=0.131011962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869354248046875 × 214)
    floor (0.869354248046875 × 16384)
    floor (14243.5)     		tx = 14243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131011962890625 × 214)
    floor (0.131011962890625 × 16384)
    floor (2146.5)     		ty = 2146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14243 / 2146 ti = "14/14243/2146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14243/2146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14243 ÷ 214
    14243 ÷ 16384     		x = 0.86932373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2146 ÷ 214
    2146 ÷ 16384     		y = 0.1309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.86932373046875 × 2 - 1) × π
    0.7386474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.32052944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1309814453125 × 2 - 1) × π
    0.738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31861196082288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.32052944} λ = 2.32052944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31861196082288))-π/2
    2×atan(10.1615598694445)-π/2
    2×1.47270209123458-π/2
    2.94540418246916-1.57079632675     		φ = 1.37460786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.32052944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37460786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.759229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14243 KachelY 2146 2.32052944 1.37460786 132.956543 78.759229
    Oben rechts KachelX + 1 14244 KachelY 2146 2.32091293 1.37460786 132.978516 78.759229
    Unten links KachelX 14243 KachelY + 1 2147 2.32052944 1.37453309 132.956543 78.754945
    Unten rechts KachelX + 1 14244 KachelY + 1 2147 2.32091293 1.37453309 132.978516 78.754945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37460786-1.37453309) × R
    7.47700000001128e-05 × 6371000     		dl = 476.359670000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37460786-1.37453309) × R
    7.47700000001128e-05 × 6371000     		dr = 476.359670000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.32052944-2.32091293) × cos(1.37460786) × R
    0.000383489999999931 × 0.194932340424342 × 6371000     		do = 476.261577173982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.32052944-2.32091293) × cos(1.37453309) × R
    0.000383489999999931 × 0.19500567554342 × 6371000     		du = 476.44075062154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37460786)-sin(1.37453309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194932340424342-0.19500567554342)×R²
    abs(2.32091293-2.32052944)×7.33351190780884e-05×R²
    0.000383489999999931×7.33351190780884e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.33351190780884e-05×40589641000000     		ar = 226914.483343928m²