Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14243 / 18341
↖ ↑ ↗
← N 78.113580°
W140.880432°		 ← 62.90 m → N 78.113580°
W140.877686°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.113014°
W140.880432°		 ← 62.90 m →
3 959 m²		 N 78.113014°
W140.877686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108669281005859 y=0.139934539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108669281005859 × 217)
    floor (0.108669281005859 × 131072)
    floor (14243.5)     		tx = 14243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139934539794922 × 217)
    floor (0.139934539794922 × 131072)
    floor (18341.5)     		ty = 18341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14243 / 18341 ti = "17/14243/18341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14243/18341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14243 ÷ 217
    14243 ÷ 131072     		x = 0.108665466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18341 ÷ 217
    18341 ÷ 131072     		y = 0.139930725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108665466308594 × 2 - 1) × π
    -0.782669067382812 × 3.1415926535     		Λ = -2.45882739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139930725097656 × 2 - 1) × π
    0.720138549804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.26238197756855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45882739} λ = -2.45882739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26238197756855))-π/2
    2×atan(9.60594307814341)-π/2
    2×1.46706774160483-π/2
    2.93413548320965-1.57079632675     		φ = 1.36333916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45882739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.880432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36333916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.113580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14243 KachelY 18341 -2.45882739 1.36333916 -140.880432 78.113580
    Oben rechts KachelX + 1 14244 KachelY 18341 -2.45877946 1.36333916 -140.877686 78.113580
    Unten links KachelX 14243 KachelY + 1 18342 -2.45882739 1.36332928 -140.880432 78.113014
    Unten rechts KachelX + 1 14244 KachelY + 1 18342 -2.45877946 1.36332928 -140.877686 78.113014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36333916-1.36332928) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36333916-1.36332928) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45882739--2.45877946) × cos(1.36333916) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205972259090078 × 6371000     		do = 62.8961071594707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45882739--2.45877946) × cos(1.36332928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205981927231394 × 6371000     		du = 62.8990594427294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36333916)-sin(1.36332928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205972259090078-0.205981927231394)×R²
    abs(-2.45877946--2.45882739)×9.66814131647675e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.66814131647675e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.66814131647675e-06×40589641000000     		ar = 3959.11857179044m²