Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14242 / 7285
↖ ↑ ↗
← N 70.181378°
W 23.532715°		 ← 414.19 m → N 70.181378°
W 23.521729°		 →
↑
414.18 m
↓
↑
414.18 m
↓
N 70.177653°
W 23.532715°		 ← 414.26 m →
171 564 m²		 N 70.177653°
W 23.521729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434646606445312 y=0.222335815429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434646606445312 × 215)
    floor (0.434646606445312 × 32768)
    floor (14242.5)     		tx = 14242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222335815429688 × 215)
    floor (0.222335815429688 × 32768)
    floor (7285.5)     		ty = 7285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14242 / 7285 ti = "15/14242/7285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14242/7285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14242 ÷ 215
    14242 ÷ 32768     		x = 0.43463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7285 ÷ 215
    7285 ÷ 32768     		y = 0.222320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222320556640625 × 2 - 1) × π
    0.55535888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74471139857156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41072336} λ = -0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74471139857156))-π/2
    2×atan(5.72424921051089)-π/2
    2×1.39784622537571-π/2
    2.79569245075142-1.57079632675     		φ = 1.22489612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22489612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.181378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14242 KachelY 7285 -0.41072336 1.22489612 -23.532715 70.181378
    Oben rechts KachelX + 1 14243 KachelY 7285 -0.41053161 1.22489612 -23.521729 70.181378
    Unten links KachelX 14242 KachelY + 1 7286 -0.41072336 1.22483111 -23.532715 70.177653
    Unten rechts KachelX + 1 14243 KachelY + 1 7286 -0.41053161 1.22483111 -23.521729 70.177653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22489612-1.22483111) × R
    6.5009999999921e-05 × 6371000     		dl = 414.178709999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22489612-1.22483111) × R
    6.5009999999921e-05 × 6371000     		dr = 414.178709999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41072336--0.41053161) × cos(1.22489612) × R
    0.000191749999999991 × 0.339043702617723 × 6371000     		do = 414.189094583117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41072336--0.41053161) × cos(1.22483111) × R
    0.000191749999999991 × 0.339104861399521 × 6371000     		du = 414.263808551444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22489612)-sin(1.22483111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339043702617723-0.339104861399521)×R²
    abs(-0.41053161--0.41072336)×6.11587817982429e-05×R²
    0.000191749999999991×6.11587817982429e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.11587817982429e-05×40589641000000     		ar = 171563.777418634m²