Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14242 / 10658
↖ ↑ ↗
← N 53.107217°
W 23.532715°		 ← 733.37 m → N 53.107217°
W 23.521729°		 →
↑
733.43 m
↓
↑
733.43 m
↓
N 53.100621°
W 23.532715°		 ← 733.49 m →
537 919 m²		 N 53.100621°
W 23.521729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434646606445312 y=0.325271606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434646606445312 × 215)
    floor (0.434646606445312 × 32768)
    floor (14242.5)     		tx = 14242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325271606445312 × 215)
    floor (0.325271606445312 × 32768)
    floor (10658.5)     		ty = 10658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14242 / 10658 ti = "15/14242/10658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14242/10658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14242 ÷ 215
    14242 ÷ 32768     		x = 0.43463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10658 ÷ 215
    10658 ÷ 32768     		y = 0.32525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.1307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41072336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32525634765625 × 2 - 1) × π
    0.3494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09794674889777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41072336} λ = -0.41072336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09794674889777))-π/2
    2×atan(2.99800404495637)-π/2
    2×1.24884605730984-π/2
    2.49769211461969-1.57079632675     		φ = 0.92689579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41072336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.532715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92689579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.107217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14242 KachelY 10658 -0.41072336 0.92689579 -23.532715 53.107217
    Oben rechts KachelX + 1 14243 KachelY 10658 -0.41053161 0.92689579 -23.521729 53.107217
    Unten links KachelX 14242 KachelY + 1 10659 -0.41072336 0.92678067 -23.532715 53.100621
    Unten rechts KachelX + 1 14243 KachelY + 1 10659 -0.41053161 0.92678067 -23.521729 53.100621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92689579-0.92678067) × R
    0.000115120000000024 × 6371000     		dl = 733.429520000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92689579-0.92678067) × R
    0.000115120000000024 × 6371000     		dr = 733.429520000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41072336--0.41053161) × cos(0.92689579) × R
    0.000191749999999991 × 0.600319494529975 × 6371000     		do = 733.373857057942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41072336--0.41053161) × cos(0.92678067) × R
    0.000191749999999991 × 0.600411558955234 × 6371000     		du = 733.486326573366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92689579)-sin(0.92678067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600319494529975-0.600411558955234)×R²
    abs(-0.41053161--0.41072336)×9.20644252584424e-05×R²
    0.000191749999999991×9.20644252584424e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.20644252584424e-05×40589641000000     		ar = 537919.280787936m²