Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14241 / 18852
↖ ↑ ↗
← N 60.489704°
W101.771851°		 ← 300.89 m → N 60.489704°
W101.766357°		 →
↑
300.90 m
↓
↑
300.90 m
↓
N 60.486998°
W101.771851°		 ← 300.92 m →
90 543 m²		 N 60.486998°
W101.766357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217308044433594 y=0.287666320800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217308044433594 × 216)
    floor (0.217308044433594 × 65536)
    floor (14241.5)     		tx = 14241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287666320800781 × 216)
    floor (0.287666320800781 × 65536)
    floor (18852.5)     		ty = 18852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14241 / 18852 ti = "16/14241/18852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14241/18852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14241 ÷ 216
    14241 ÷ 65536     		x = 0.217300415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18852 ÷ 216
    18852 ÷ 65536     		y = 0.28765869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.217300415039062 × 2 - 1) × π
    -0.565399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77625388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28765869140625 × 2 - 1) × π
    0.4246826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.3341797902254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77625388} λ = -1.77625388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3341797902254))-π/2
    2×atan(3.79688043046357)-π/2
    2×1.31327041192451-π/2
    2.62654082384902-1.57079632675     		φ = 1.05574450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77625388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.771851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05574450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.489704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14241 KachelY 18852 -1.77625388 1.05574450 -101.771851 60.489704
    Oben rechts KachelX + 1 14242 KachelY 18852 -1.77615800 1.05574450 -101.766357 60.489704
    Unten links KachelX 14241 KachelY + 1 18853 -1.77625388 1.05569727 -101.771851 60.486998
    Unten rechts KachelX + 1 14242 KachelY + 1 18853 -1.77615800 1.05569727 -101.766357 60.486998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05574450-1.05569727) × R
    4.72300000000647e-05 × 6371000     		dl = 300.902330000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05574450-1.05569727) × R
    4.72300000000647e-05 × 6371000     		dr = 300.902330000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77625388--1.77615800) × cos(1.05574450) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.492579952857029 × 6371000     		do = 300.893193221546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77625388--1.77615800) × cos(1.05569727) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.492621055027223 × 6371000     		du = 300.91830054304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05574450)-sin(1.05569727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.492579952857029-0.492621055027223)×R²
    abs(-1.77615800--1.77625388)×4.11021701945957e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.11021701945957e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.11021701945957e-05×40589641000000     		ar = 90543.2403642057m²