Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14240 / 36256
↖ ↑ ↗
← N 62.390370°
W140.888672°		 ← 141.52 m → N 62.390370°
W140.885926°		 →
↑
141.56 m
↓
↑
141.56 m
↓
N 62.389096°
W140.888672°		 ← 141.52 m →
20 034 m²		 N 62.389096°
W140.885926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108646392822266 y=0.276615142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108646392822266 × 217)
    floor (0.108646392822266 × 131072)
    floor (14240.5)     		tx = 14240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276615142822266 × 217)
    floor (0.276615142822266 × 131072)
    floor (36256.5)     		ty = 36256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14240 / 36256 ti = "17/14240/36256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14240/36256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14240 ÷ 217
    14240 ÷ 131072     		x = 0.108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36256 ÷ 217
    36256 ÷ 131072     		y = 0.276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.78271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45897120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.276611328125 × 2 - 1) × π
    0.44677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40359242087524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45897120} λ = -2.45897120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40359242087524))-π/2
    2×atan(4.06979415038825)-π/2
    2×1.32985684750377-π/2
    2.65971369500754-1.57079632675     		φ = 1.08891737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45897120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08891737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.390370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14240 KachelY 36256 -2.45897120 1.08891737 -140.888672 62.390370
    Oben rechts KachelX + 1 14241 KachelY 36256 -2.45892327 1.08891737 -140.885926 62.390370
    Unten links KachelX 14240 KachelY + 1 36257 -2.45897120 1.08889515 -140.888672 62.389096
    Unten rechts KachelX + 1 14241 KachelY + 1 36257 -2.45892327 1.08889515 -140.885926 62.389096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08891737-1.08889515) × R
    2.22200000001838e-05 × 6371000     		dl = 141.563620001171m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08891737-1.08889515) × R
    2.22200000001838e-05 × 6371000     		dr = 141.563620001171m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45897120--2.45892327) × cos(1.08891737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463444984547496 × 6371000     		do = 141.518501274829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45897120--2.45892327) × cos(1.08889515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.463464674146017 × 6371000     		du = 141.524513730603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08891737)-sin(1.08889515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.463444984547496-0.463464674146017)×R²
    abs(-2.45892327--2.45897120)×1.96895985203893e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96895985203893e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96895985203893e-05×40589641000000     		ar = 20034.296910907m²