Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14240 / 18403
↖ ↑ ↗
← N 78.078454°
W140.888672°		 ← 63.08 m → N 78.078454°
W140.885926°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.077887°
W140.888672°		 ← 63.08 m →
3 979 m²		 N 78.077887°
W140.885926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108646392822266 y=0.140407562255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108646392822266 × 217)
    floor (0.108646392822266 × 131072)
    floor (14240.5)     		tx = 14240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140407562255859 × 217)
    floor (0.140407562255859 × 131072)
    floor (18403.5)     		ty = 18403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14240 / 18403 ti = "17/14240/18403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14240/18403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14240 ÷ 217
    14240 ÷ 131072     		x = 0.108642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18403 ÷ 217
    18403 ÷ 131072     		y = 0.140403747558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    -0.78271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45897120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140403747558594 × 2 - 1) × π
    0.719192504882812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25940988979211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45897120} λ = -2.45897120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25940988979211))-π/2
    2×atan(9.5774357562556)-π/2
    2×1.46676121226928-π/2
    2.93352242453856-1.57079632675     		φ = 1.36272610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45897120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36272610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.078454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14240 KachelY 18403 -2.45897120 1.36272610 -140.888672 78.078454
    Oben rechts KachelX + 1 14241 KachelY 18403 -2.45892327 1.36272610 -140.885926 78.078454
    Unten links KachelX 14240 KachelY + 1 18404 -2.45897120 1.36271620 -140.888672 78.077887
    Unten rechts KachelX + 1 14241 KachelY + 1 18404 -2.45892327 1.36271620 -140.885926 78.077887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36272610-1.36271620) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36272610-1.36271620) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45897120--2.45892327) × cos(1.36272610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206572135009763 × 6371000     		do = 63.0792864880538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45897120--2.45892327) × cos(1.36271620) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206581821470239 × 6371000     		du = 63.0822443652884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36272610)-sin(1.36271620))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206572135009763-0.206581821470239)×R²
    abs(-2.45892327--2.45897120)×9.68646047641575e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.68646047641575e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.68646047641575e-06×40589641000000     		ar = 3978.68680966804m²