Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14240 / 10656
↖ ↑ ↗
← N 76.310357°
W101.777344°		 ← 144.55 m → N 76.310357°
W101.771851°		 →
↑
144.56 m
↓
↑
144.56 m
↓
N 76.309057°
W101.777344°		 ← 144.56 m →
20 897 m²		 N 76.309057°
W101.771851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.217292785644531 y=0.162605285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.217292785644531 × 216)
    floor (0.217292785644531 × 65536)
    floor (14240.5)     		tx = 14240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162605285644531 × 216)
    floor (0.162605285644531 × 65536)
    floor (10656.5)     		ty = 10656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14240 / 10656 ti = "16/14240/10656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14240/10656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14240 ÷ 216
    14240 ÷ 65536     		x = 0.21728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10656 ÷ 216
    10656 ÷ 65536     		y = 0.16259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.77634975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16259765625 × 2 - 1) × π
    0.6748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11996144879736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77634975} λ = -1.77634975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11996144879736))-π/2
    2×atan(8.33081631850898)-π/2
    2×1.45133165964015-π/2
    2.9026633192803-1.57079632675     		φ = 1.33186699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77634975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.777344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33186699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.310357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14240 KachelY 10656 -1.77634975 1.33186699 -101.777344 76.310357
    Oben rechts KachelX + 1 14241 KachelY 10656 -1.77625388 1.33186699 -101.771851 76.310357
    Unten links KachelX 14240 KachelY + 1 10657 -1.77634975 1.33184430 -101.777344 76.309057
    Unten rechts KachelX + 1 14241 KachelY + 1 10657 -1.77625388 1.33184430 -101.771851 76.309057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33186699-1.33184430) × R
    2.26899999999919e-05 × 6371000     		dl = 144.557989999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33186699-1.33184430) × R
    2.26899999999919e-05 × 6371000     		dr = 144.557989999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77634975--1.77625388) × cos(1.33186699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236662514554843 × 6371000     		do = 144.550569507542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77634975--1.77625388) × cos(1.33184430) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.236684559914529 × 6371000     		du = 144.564034543623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33186699)-sin(1.33184430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236662514554843-0.236684559914529)×R²
    abs(-1.77625388--1.77634975)×2.20453596855852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.20453596855852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.20453596855852e-05×40589641000000     		ar = 20896.9130219398m²