Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14239 / 7262
↖ ↑ ↗
← N 70.266872°
W 23.565674°		 ← 412.47 m → N 70.266872°
W 23.554687°		 →
↑
412.46 m
↓
↑
412.46 m
↓
N 70.263163°
W 23.565674°		 ← 412.55 m →
170 144 m²		 N 70.263163°
W 23.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434555053710938 y=0.221633911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434555053710938 × 215)
    floor (0.434555053710938 × 32768)
    floor (14239.5)     		tx = 14239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221633911132812 × 215)
    floor (0.221633911132812 × 32768)
    floor (7262.5)     		ty = 7262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14239 / 7262 ti = "15/14239/7262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14239/7262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14239 ÷ 215
    14239 ÷ 32768     		x = 0.434539794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7262 ÷ 215
    7262 ÷ 32768     		y = 0.22161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434539794921875 × 2 - 1) × π
    -0.13092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41129860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22161865234375 × 2 - 1) × π
    0.5567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74912159333661
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41129860} λ = -0.41129860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74912159333661))-π/2
    2×atan(5.74955001414077)-π/2
    2×1.39859230067436-π/2
    2.79718460134872-1.57079632675     		φ = 1.22638827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41129860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.565674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22638827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.266872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14239 KachelY 7262 -0.41129860 1.22638827 -23.565674 70.266872
    Oben rechts KachelX + 1 14240 KachelY 7262 -0.41110685 1.22638827 -23.554687 70.266872
    Unten links KachelX 14239 KachelY + 1 7263 -0.41129860 1.22632353 -23.565674 70.263163
    Unten rechts KachelX + 1 14240 KachelY + 1 7263 -0.41110685 1.22632353 -23.554687 70.263163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22638827-1.22632353) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dl = 412.458540000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22638827-1.22632353) × R
    6.47400000000076e-05 × 6371000     		dr = 412.458540000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41129860--0.41110685) × cos(1.22638827) × R
    0.000191749999999991 × 0.337639554809156 × 6371000     		do = 412.47373250737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41129860--0.41110685) × cos(1.22632353) × R
    0.000191749999999991 × 0.337700492276181 × 6371000     		du = 412.548176108884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22638827)-sin(1.22632353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337639554809156-0.337700492276181)×R²
    abs(-0.41110685--0.41129860)×6.09374670249574e-05×R²
    0.000191749999999991×6.09374670249574e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.09374670249574e-05×40589641000000     		ar = 170143.666007405m²