Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 14238 / 2258
↖ ↑ ↗
← N 78.269270°
E132.846680°		 ← 496.75 m → N 78.269270°
E132.868653°		 →
↑
496.87 m
↓
↑
496.87 m
↓
N 78.264802°
E132.846680°		 ← 496.94 m →
246 868 m²		 N 78.264802°
E132.868653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.869049072265625 y=0.137847900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.869049072265625 × 214)
    floor (0.869049072265625 × 16384)
    floor (14238.5)     		tx = 14238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137847900390625 × 214)
    floor (0.137847900390625 × 16384)
    floor (2258.5)     		ty = 2258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 14238 / 2258 ti = "14/14238/2258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/14238/2258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14238 ÷ 214
    14238 ÷ 16384     		x = 0.8690185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2258 ÷ 214
    2258 ÷ 16384     		y = 0.1378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8690185546875 × 2 - 1) × π
    0.738037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.31861196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    0.724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27566049876331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.31861196} λ = 2.31861196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27566049876331))-π/2
    2×atan(9.73434641344872)-π/2
    2×1.46842639727694-π/2
    2.93685279455388-1.57079632675     		φ = 1.36605647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.31861196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 132.846680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36605647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.269270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14238 KachelY 2258 2.31861196 1.36605647 132.846680 78.269270
    Oben rechts KachelX + 1 14239 KachelY 2258 2.31899546 1.36605647 132.868653 78.269270
    Unten links KachelX 14238 KachelY + 1 2259 2.31861196 1.36597848 132.846680 78.264802
    Unten rechts KachelX + 1 14239 KachelY + 1 2259 2.31899546 1.36597848 132.868653 78.264802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36605647-1.36597848) × R
    7.79899999998612e-05 × 6371000     		dl = 496.874289999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36605647-1.36597848) × R
    7.79899999998612e-05 × 6371000     		dr = 496.874289999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.31861196-2.31899546) × cos(1.36605647) × R
    0.00038349999999987 × 0.203312456956995 × 6371000     		do = 496.748954865032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.31861196-2.31899546) × cos(1.36597848) × R
    0.00038349999999987 × 0.203388817432284 × 6371000     		du = 496.935524772557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36605647)-sin(1.36597848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203312456956995-0.203388817432284)×R²
    abs(2.31899546-2.31861196)×7.63604752897495e-05×R²
    0.00038349999999987×7.63604752897495e-05×6371000²
    0.00038349999999987×7.63604752897495e-05×40589641000000     		ar = 246868.135275377m²