Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14236 / 18484
↖ ↑ ↗
← N 78.032410°
W140.899658°		 ← 63.33 m → N 78.032410°
W140.896911°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.031841°
W140.899658°		 ← 63.34 m →
4 011 m²		 N 78.031841°
W140.896911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108615875244141 y=0.141025543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108615875244141 × 217)
    floor (0.108615875244141 × 131072)
    floor (14236.5)     		tx = 14236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141025543212891 × 217)
    floor (0.141025543212891 × 131072)
    floor (18484.5)     		ty = 18484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14236 / 18484 ti = "17/14236/18484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14236/18484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14236 ÷ 217
    14236 ÷ 131072     		x = 0.108612060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18484 ÷ 217
    18484 ÷ 131072     		y = 0.141021728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108612060546875 × 2 - 1) × π
    -0.78277587890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45916295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141021728515625 × 2 - 1) × π
    0.71795654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25552700092288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45916295} λ = -2.45916295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25552700092288))-π/2
    2×atan(9.54031974287217)-π/2
    2×1.46635940120124-π/2
    2.93271880240249-1.57079632675     		φ = 1.36192248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45916295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.899658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36192248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.032410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14236 KachelY 18484 -2.45916295 1.36192248 -140.899658 78.032410
    Oben rechts KachelX + 1 14237 KachelY 18484 -2.45911501 1.36192248 -140.896911 78.032410
    Unten links KachelX 14236 KachelY + 1 18485 -2.45916295 1.36191254 -140.899658 78.031841
    Unten rechts KachelX + 1 14237 KachelY + 1 18485 -2.45911501 1.36191254 -140.896911 78.031841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36192248-1.36191254) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36192248-1.36191254) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45916295--2.45911501) × cos(1.36192248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207358355242997 × 6371000     		do = 63.3325790952337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45916295--2.45911501) × cos(1.36191254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207368079187372 × 6371000     		du = 63.3355490381403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36192248)-sin(1.36191254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207358355242997-0.207368079187372)×R²
    abs(-2.45911501--2.45916295)×9.72394437559476e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.72394437559476e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.72394437559476e-06×40589641000000     		ar = 4010.80314242776m²