Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14236 / 10663
↖ ↑ ↗
← N 53.074228°
W 23.598633°		 ← 733.94 m → N 53.074228°
W 23.587646°		 →
↑
734 m
↓
↑
734 m
↓
N 53.067627°
W 23.598633°		 ← 734.05 m →
538 753 m²		 N 53.067627°
W 23.587646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434463500976562 y=0.325424194335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434463500976562 × 215)
    floor (0.434463500976562 × 32768)
    floor (14236.5)     		tx = 14236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325424194335938 × 215)
    floor (0.325424194335938 × 32768)
    floor (10663.5)     		ty = 10663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14236 / 10663 ti = "15/14236/10663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14236/10663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14236 ÷ 215
    14236 ÷ 32768     		x = 0.4344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10663 ÷ 215
    10663 ÷ 32768     		y = 0.325408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41187384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325408935546875 × 2 - 1) × π
    0.34918212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09698801090536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41187384} λ = -0.41187384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09698801090536))-π/2
    2×atan(2.99513112198736)-π/2
    2×1.24855817241613-π/2
    2.49711634483226-1.57079632675     		φ = 0.92632002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41187384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.598633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92632002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.074228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14236 KachelY 10663 -0.41187384 0.92632002 -23.598633 53.074228
    Oben rechts KachelX + 1 14237 KachelY 10663 -0.41168209 0.92632002 -23.587646 53.074228
    Unten links KachelX 14236 KachelY + 1 10664 -0.41187384 0.92620481 -23.598633 53.067627
    Unten rechts KachelX + 1 14237 KachelY + 1 10664 -0.41168209 0.92620481 -23.587646 53.067627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92632002-0.92620481) × R
    0.000115210000000032 × 6371000     		dl = 734.002910000205m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92632002-0.92620481) × R
    0.000115210000000032 × 6371000     		dr = 734.002910000205m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41187384--0.41168209) × cos(0.92632002) × R
    0.000191749999999991 × 0.600779872974313 × 6371000     		do = 733.936273435399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41187384--0.41168209) × cos(0.92620481) × R
    0.000191749999999991 × 0.600871969531578 × 6371000     		du = 734.048782204543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92632002)-sin(0.92620481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600779872974313-0.600871969531578)×R²
    abs(-0.41168209--0.41187384)×9.20965572644983e-05×R²
    0.000191749999999991×9.20965572644983e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.20965572644983e-05×40589641000000     		ar = 538752.651934453m²