Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14234 / 18486
↖ ↑ ↗
← N 78.031271°
W140.905151°		 ← 63.33 m → N 78.031271°
W140.902405°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.030701°
W140.905151°		 ← 63.33 m →
4 010 m²		 N 78.030701°
W140.902405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108600616455078 y=0.141040802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108600616455078 × 217)
    floor (0.108600616455078 × 131072)
    floor (14234.5)     		tx = 14234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141040802001953 × 217)
    floor (0.141040802001953 × 131072)
    floor (18486.5)     		ty = 18486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14234 / 18486 ti = "17/14234/18486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14234/18486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14234 ÷ 217
    14234 ÷ 131072     		x = 0.108596801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18486 ÷ 217
    18486 ÷ 131072     		y = 0.141036987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108596801757812 × 2 - 1) × π
    -0.782806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45925882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141036987304688 × 2 - 1) × π
    0.717926025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25543112712364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45925882} λ = -2.45925882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25543112712364))-π/2
    2×atan(9.53940512001734)-π/2
    2×1.46634946061822-π/2
    2.93269892123644-1.57079632675     		φ = 1.36190259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45925882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.905151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36190259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.031271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14234 KachelY 18486 -2.45925882 1.36190259 -140.905151 78.031271
    Oben rechts KachelX + 1 14235 KachelY 18486 -2.45921089 1.36190259 -140.902405 78.031271
    Unten links KachelX 14234 KachelY + 1 18487 -2.45925882 1.36189265 -140.905151 78.030701
    Unten rechts KachelX + 1 14235 KachelY + 1 18487 -2.45921089 1.36189265 -140.902405 78.030701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36190259-1.36189265) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36190259-1.36189265) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45925882--2.45921089) × cos(1.36190259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207377812893869 × 6371000     		do = 63.3253099222707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45925882--2.45921089) × cos(1.36189265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207387536797245 × 6371000     		du = 63.3282792331453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36190259)-sin(1.36189265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207377812893869-0.207387536797245)×R²
    abs(-2.45921089--2.45925882)×9.72390337661277e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.72390337661277e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.72390337661277e-06×40589641000000     		ar = 4010.34278211702m²