Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14234 / 18378
↖ ↑ ↗
← N 78.092630°
W140.905151°		 ← 63.01 m → N 78.092630°
W140.902405°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.092063°
W140.905151°		 ← 63.01 m →
3 970 m²		 N 78.092063°
W140.902405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108600616455078 y=0.140216827392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108600616455078 × 217)
    floor (0.108600616455078 × 131072)
    floor (14234.5)     		tx = 14234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140216827392578 × 217)
    floor (0.140216827392578 × 131072)
    floor (18378.5)     		ty = 18378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14234 / 18378 ti = "17/14234/18378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14234/18378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14234 ÷ 217
    14234 ÷ 131072     		x = 0.108596801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18378 ÷ 217
    18378 ÷ 131072     		y = 0.140213012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108596801757812 × 2 - 1) × π
    -0.782806396484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.45925882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140213012695312 × 2 - 1) × π
    0.719573974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26060831228261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45925882} λ = -2.45925882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26060831228261))-π/2
    2×atan(9.58892045105096)-π/2
    2×1.46688492007313-π/2
    2.93376984014626-1.57079632675     		φ = 1.36297351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45925882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.905151°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36297351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.092630°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14234 KachelY 18378 -2.45925882 1.36297351 -140.905151 78.092630
    Oben rechts KachelX + 1 14235 KachelY 18378 -2.45921089 1.36297351 -140.902405 78.092630
    Unten links KachelX 14234 KachelY + 1 18379 -2.45925882 1.36296362 -140.905151 78.092063
    Unten rechts KachelX + 1 14235 KachelY + 1 18379 -2.45921089 1.36296362 -140.902405 78.092063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36297351-1.36296362) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36297351-1.36296362) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45925882--2.45921089) × cos(1.36297351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206330054983749 × 6371000     		do = 63.0053644398878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45925882--2.45921089) × cos(1.36296362) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206339732165106 × 6371000     		du = 63.0083194836317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36297351)-sin(1.36296362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206330054983749-0.206339732165106)×R²
    abs(-2.45921089--2.45925882)×9.67718135708173e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.67718135708173e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.67718135708173e-06×40589641000000     		ar = 3970.01007639352m²