Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14233 / 18394
↖ ↑ ↗
← N 78.083559°
W140.907898°		 ← 63.07 m → N 78.083559°
W140.905151°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.082992°
W140.907898°		 ← 63.07 m →
3 978 m²		 N 78.082992°
W140.905151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108592987060547 y=0.140338897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108592987060547 × 217)
    floor (0.108592987060547 × 131072)
    floor (14233.5)     		tx = 14233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140338897705078 × 217)
    floor (0.140338897705078 × 131072)
    floor (18394.5)     		ty = 18394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14233 / 18394 ti = "17/14233/18394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14233/18394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14233 ÷ 217
    14233 ÷ 131072     		x = 0.108589172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18394 ÷ 217
    18394 ÷ 131072     		y = 0.140335083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108589172363281 × 2 - 1) × π
    -0.782821655273438 × 3.1415926535     		Λ = -2.45930676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140335083007812 × 2 - 1) × π
    0.719329833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.25984132188869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45930676} λ = -2.45930676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25984132188869))-π/2
    2×atan(9.58156866091354)-π/2
    2×1.46680576379049-π/2
    2.93361152758099-1.57079632675     		φ = 1.36281520
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45930676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.907898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36281520 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.083559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14233 KachelY 18394 -2.45930676 1.36281520 -140.907898 78.083559
    Oben rechts KachelX + 1 14234 KachelY 18394 -2.45925882 1.36281520 -140.905151 78.083559
    Unten links KachelX 14233 KachelY + 1 18395 -2.45930676 1.36280530 -140.907898 78.082992
    Unten rechts KachelX + 1 14234 KachelY + 1 18395 -2.45925882 1.36280530 -140.905151 78.082992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36281520-1.36280530) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36281520-1.36280530) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45930676--2.45925882) × cos(1.36281520) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206484955954513 × 6371000     		do = 63.0658204712332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45930676--2.45925882) × cos(1.36280530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20649464259717 × 6371000     		du = 63.068779021235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36281520)-sin(1.36280530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206484955954513-0.20649464259717)×R²
    abs(-2.45925882--2.45930676)×9.68664265743602e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.68664265743602e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.68664265743602e-06×40589641000000     		ar = 3977.83749019127m²