Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14233 / 18355
↖ ↑ ↗
← N 78.105657°
W140.907898°		 ← 62.95 m → N 78.105657°
W140.905151°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.105091°
W140.907898°		 ← 62.95 m →
3 963 m²		 N 78.105091°
W140.905151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108592987060547 y=0.140041351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108592987060547 × 217)
    floor (0.108592987060547 × 131072)
    floor (14233.5)     		tx = 14233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140041351318359 × 217)
    floor (0.140041351318359 × 131072)
    floor (18355.5)     		ty = 18355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14233 / 18355 ti = "17/14233/18355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14233/18355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14233 ÷ 217
    14233 ÷ 131072     		x = 0.108589172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18355 ÷ 217
    18355 ÷ 131072     		y = 0.140037536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108589172363281 × 2 - 1) × π
    -0.782821655273438 × 3.1415926535     		Λ = -2.45930676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140037536621094 × 2 - 1) × π
    0.719924926757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.26171086097387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45930676} λ = -2.45930676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26171086097387))-π/2
    2×atan(9.59949853309856)-π/2
    2×1.46699860320329-π/2
    2.93399720640657-1.57079632675     		φ = 1.36320088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45930676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.907898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36320088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.105657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14233 KachelY 18355 -2.45930676 1.36320088 -140.907898 78.105657
    Oben rechts KachelX + 1 14234 KachelY 18355 -2.45925882 1.36320088 -140.905151 78.105657
    Unten links KachelX 14233 KachelY + 1 18356 -2.45930676 1.36319100 -140.907898 78.105091
    Unten rechts KachelX + 1 14234 KachelY + 1 18356 -2.45925882 1.36319100 -140.905151 78.105091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36320088-1.36319100) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36320088-1.36319100) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45930676--2.45925882) × cos(1.36320088) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206107572097274 × 6371000     		do = 62.9505577273719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45930676--2.45925882) × cos(1.36319100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206117239957091 × 6371000     		du = 62.9535105406107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36320088)-sin(1.36319100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206107572097274-0.206117239957091)×R²
    abs(-2.45925882--2.45930676)×9.66785981679208e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66785981679208e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66785981679208e-06×40589641000000     		ar = 3962.54600545108m²