Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14232 / 4569
↖ ↑ ↗
← N 78.150296°
W 23.642578°		 ← 250.86 m → N 78.150296°
W 23.631592°		 →
↑
250.89 m
↓
↑
250.89 m
↓
N 78.148039°
W 23.642578°		 ← 250.90 m →
62 944 m²		 N 78.148039°
W 23.631592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434341430664062 y=0.139450073242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434341430664062 × 215)
    floor (0.434341430664062 × 32768)
    floor (14232.5)     		tx = 14232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139450073242188 × 215)
    floor (0.139450073242188 × 32768)
    floor (4569.5)     		ty = 4569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14232 / 4569 ti = "15/14232/4569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14232/4569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14232 ÷ 215
    14232 ÷ 32768     		x = 0.434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4569 ÷ 215
    4569 ÷ 32768     		y = 0.139434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434326171875 × 2 - 1) × π
    -0.13134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.41264083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139434814453125 × 2 - 1) × π
    0.72113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26549787604385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41264083} λ = -0.41264083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26549787604385))-π/2
    2×atan(9.63592090120693)-π/2
    2×1.46738814719188-π/2
    2.93477629438375-1.57079632675     		φ = 1.36397997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41264083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.642578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36397997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.150296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14232 KachelY 4569 -0.41264083 1.36397997 -23.642578 78.150296
    Oben rechts KachelX + 1 14233 KachelY 4569 -0.41244908 1.36397997 -23.631592 78.150296
    Unten links KachelX 14232 KachelY + 1 4570 -0.41264083 1.36394059 -23.642578 78.148039
    Unten rechts KachelX + 1 14233 KachelY + 1 4570 -0.41244908 1.36394059 -23.631592 78.148039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36397997-1.36394059) × R
    3.93800000000333e-05 × 6371000     		dl = 250.889980000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36397997-1.36394059) × R
    3.93800000000333e-05 × 6371000     		dr = 250.889980000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41264083--0.41244908) × cos(1.36397997) × R
    0.000191749999999991 × 0.205345147199392 × 6371000     		do = 250.857691615792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41264083--0.41244908) × cos(1.36394059) × R
    0.000191749999999991 × 0.205383687837359 × 6371000     		du = 250.904774371853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36397997)-sin(1.36394059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205345147199392-0.205383687837359)×R²
    abs(-0.41244908--0.41264083)×3.85406379669606e-05×R²
    0.000191749999999991×3.85406379669606e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.85406379669606e-05×40589641000000     		ar = 62943.587536619m²