Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14230 / 18487
↖ ↑ ↗
← N 78.030701°
W140.916138°		 ← 63.33 m → N 78.030701°
W140.913391°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.030131°
W140.916138°		 ← 63.33 m →
4 011 m²		 N 78.030131°
W140.913391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108570098876953 y=0.141048431396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108570098876953 × 217)
    floor (0.108570098876953 × 131072)
    floor (14230.5)     		tx = 14230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141048431396484 × 217)
    floor (0.141048431396484 × 131072)
    floor (18487.5)     		ty = 18487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14230 / 18487 ti = "17/14230/18487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14230/18487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14230 ÷ 217
    14230 ÷ 131072     		x = 0.108566284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18487 ÷ 217
    18487 ÷ 131072     		y = 0.141044616699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108566284179688 × 2 - 1) × π
    -0.782867431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.45945057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141044616699219 × 2 - 1) × π
    0.717910766601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.25538319022402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45945057} λ = -2.45945057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25538319022402))-π/2
    2×atan(9.53894784147201)-π/2
    2×1.46634448997708-π/2
    2.93268897995416-1.57079632675     		φ = 1.36189265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45945057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.916138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36189265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.030701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14230 KachelY 18487 -2.45945057 1.36189265 -140.916138 78.030701
    Oben rechts KachelX + 1 14231 KachelY 18487 -2.45940264 1.36189265 -140.913391 78.030701
    Unten links KachelX 14230 KachelY + 1 18488 -2.45945057 1.36188271 -140.916138 78.030131
    Unten rechts KachelX + 1 14231 KachelY + 1 18488 -2.45940264 1.36188271 -140.913391 78.030131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36189265-1.36188271) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36189265-1.36188271) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45945057--2.45940264) × cos(1.36189265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207387536797245 × 6371000     		do = 63.3282792331453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45945057--2.45940264) × cos(1.36188271) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.207397260680131 × 6371000     		du = 63.3312485377629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36189265)-sin(1.36188271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207387536797245-0.207397260680131)×R²
    abs(-2.45940264--2.45945057)×9.72388288597581e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.72388288597581e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.72388288597581e-06×40589641000000     		ar = 4010.5308215953m²