Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1423 / 2974
↖ ↑ ↗
← S 62.835089°
W 54.931640°		 ← 4 461.89 m → S 62.835089°
W 54.843750°		 →
↑
4 458.81 m
↓
↑
4 458.81 m
↓
S 62.875188°
W 54.931640°		 ← 4 455.80 m →
19 881 133 m²		 S 62.875188°
W 54.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3475341796875 y=0.7261962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3475341796875 × 212)
    floor (0.3475341796875 × 4096)
    floor (1423.5)     		tx = 1423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7261962890625 × 212)
    floor (0.7261962890625 × 4096)
    floor (2974.5)     		ty = 2974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1423 / 2974 ti = "12/1423/2974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1423/2974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1423 ÷ 212
    1423 ÷ 4096     		x = 0.347412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2974 ÷ 212
    2974 ÷ 4096     		y = 0.72607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347412109375 × 2 - 1) × π
    -0.30517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95873799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72607421875 × 2 - 1) × π
    -0.4521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.4204662095415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95873799} λ = -0.95873799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4204662095415))-π/2
    2×atan(0.241601353780394)-π/2
    2×0.237058568890198-π/2
    0.474117137780395-1.57079632675     		φ = -1.09667919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95873799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.931640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09667919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.835089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1423 KachelY 2974 -0.95873799 -1.09667919 -54.931640 -62.835089
    Oben rechts KachelX + 1 1424 KachelY 2974 -0.95720401 -1.09667919 -54.843750 -62.835089
    Unten links KachelX 1423 KachelY + 1 2975 -0.95873799 -1.09737905 -54.931640 -62.875188
    Unten rechts KachelX + 1 1424 KachelY + 1 2975 -0.95720401 -1.09737905 -54.843750 -62.875188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09667919--1.09737905) × R
    0.000699860000000108 × 6371000     		dl = 4458.80806000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09667919--1.09737905) × R
    0.000699860000000108 × 6371000     		dr = 4458.80806000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95873799--0.95720401) × cos(-1.09667919) × R
    0.00153398000000005 × 0.456553145222833 × 6371000     		do = 4461.88776131967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95873799--0.95720401) × cos(-1.09737905) × R
    0.00153398000000005 × 0.455930370720749 × 6371000     		du = 4455.80139446844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09667919)-sin(-1.09737905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456553145222833-0.455930370720749)×R²
    abs(-0.95720401--0.95873799)×0.000622774502083701×R²
    0.00153398000000005×0.000622774502083701×6371000²
    0.00153398000000005×0.000622774502083701×40589641000000     		ar = 19881132.9536885m²