Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14229 / 18482
↖ ↑ ↗
← N 78.033549°
W140.918884°		 ← 63.33 m → N 78.033549°
W140.916138°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.032980°
W140.918884°		 ← 63.33 m →
4 006 m²		 N 78.032980°
W140.916138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108562469482422 y=0.141010284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108562469482422 × 217)
    floor (0.108562469482422 × 131072)
    floor (14229.5)     		tx = 14229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141010284423828 × 217)
    floor (0.141010284423828 × 131072)
    floor (18482.5)     		ty = 18482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14229 / 18482 ti = "17/14229/18482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14229/18482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14229 ÷ 217
    14229 ÷ 131072     		x = 0.108558654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18482 ÷ 217
    18482 ÷ 131072     		y = 0.141006469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108558654785156 × 2 - 1) × π
    -0.782882690429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.45949851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141006469726562 × 2 - 1) × π
    0.717987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.25562287472212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45949851} λ = -2.45949851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25562287472212))-π/2
    2×atan(9.54123445341957)-π/2
    2×1.46636934085198-π/2
    2.93273868170397-1.57079632675     		φ = 1.36194235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45949851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.918884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36194235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.033549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14229 KachelY 18482 -2.45949851 1.36194235 -140.918884 78.033549
    Oben rechts KachelX + 1 14230 KachelY 18482 -2.45945057 1.36194235 -140.916138 78.033549
    Unten links KachelX 14229 KachelY + 1 18483 -2.45949851 1.36193242 -140.918884 78.032980
    Unten rechts KachelX + 1 14230 KachelY + 1 18483 -2.45945057 1.36193242 -140.916138 78.032980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36194235-1.36193242) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36194235-1.36193242) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45949851--2.45945057) × cos(1.36194235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207338917075475 × 6371000     		do = 63.3266421785341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45949851--2.45945057) × cos(1.36193242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207348631278133 × 6371000     		du = 63.3296091460695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36194235)-sin(1.36193242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207338917075475-0.207348631278133)×R²
    abs(-2.45945057--2.45949851)×9.7142026584951e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.7142026584951e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.7142026584951e-06×40589641000000     		ar = 4006.39244169435m²