Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14229 / 18385
↖ ↑ ↗
← N 78.088663°
W140.918884°		 ← 63.04 m → N 78.088663°
W140.916138°		 →
↑
63.07 m
↓
↑
63.07 m
↓
N 78.088095°
W140.918884°		 ← 63.04 m →
3 976 m²		 N 78.088095°
W140.916138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108562469482422 y=0.140270233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108562469482422 × 217)
    floor (0.108562469482422 × 131072)
    floor (14229.5)     		tx = 14229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140270233154297 × 217)
    floor (0.140270233154297 × 131072)
    floor (18385.5)     		ty = 18385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14229 / 18385 ti = "17/14229/18385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14229/18385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14229 ÷ 217
    14229 ÷ 131072     		x = 0.108558654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18385 ÷ 217
    18385 ÷ 131072     		y = 0.140266418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108558654785156 × 2 - 1) × π
    -0.782882690429688 × 3.1415926535     		Λ = -2.45949851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140266418457031 × 2 - 1) × π
    0.719467163085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.26027275398527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45949851} λ = -2.45949851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26027275398527))-π/2
    2×atan(9.5857033490239)-π/2
    2×1.46685029650894-π/2
    2.93370059301787-1.57079632675     		φ = 1.36290427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45949851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.918884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36290427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.088663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14229 KachelY 18385 -2.45949851 1.36290427 -140.918884 78.088663
    Oben rechts KachelX + 1 14230 KachelY 18385 -2.45945057 1.36290427 -140.916138 78.088663
    Unten links KachelX 14229 KachelY + 1 18386 -2.45949851 1.36289437 -140.918884 78.088095
    Unten rechts KachelX + 1 14230 KachelY + 1 18386 -2.45945057 1.36289437 -140.916138 78.088095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36290427-1.36289437) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dl = 63.0729000000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36290427-1.36289437) × R
    9.90000000000713e-06 × 6371000     		dr = 63.0729000000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45949851--2.45945057) × cos(1.36290427) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206397804614064 × 6371000     		do = 63.0392022085844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45949851--2.45945057) × cos(1.36289437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206407491438764 × 6371000     		du = 63.0421608141868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36290427)-sin(1.36289437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206397804614064-0.206407491438764)×R²
    abs(-2.45945057--2.45949851)×9.68682470026128e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.68682470026128e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.68682470026128e-06×40589641000000     		ar = 3976.15860088807m²