Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14228 / 18548
↖ ↑ ↗
← N 77.995905°
W140.921631°		 ← 63.52 m → N 77.995905°
W140.918884°		 →
↑
63.52 m
↓
↑
63.52 m
↓
N 77.995334°
W140.921631°		 ← 63.53 m →
4 035 m²		 N 77.995334°
W140.918884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108554840087891 y=0.141513824462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108554840087891 × 217)
    floor (0.108554840087891 × 131072)
    floor (14228.5)     		tx = 14228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141513824462891 × 217)
    floor (0.141513824462891 × 131072)
    floor (18548.5)     		ty = 18548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14228 / 18548 ti = "17/14228/18548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14228/18548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14228 ÷ 217
    14228 ÷ 131072     		x = 0.108551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18548 ÷ 217
    18548 ÷ 131072     		y = 0.141510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108551025390625 × 2 - 1) × π
    -0.78289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45954645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141510009765625 × 2 - 1) × π
    0.71697998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2524590393472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45954645} λ = -2.45954645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2524590393472))-π/2
    2×atan(9.5110952611974)-π/2
    2×1.46604083967604-π/2
    2.93208167935208-1.57079632675     		φ = 1.36128535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45954645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.921631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36128535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.995905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14228 KachelY 18548 -2.45954645 1.36128535 -140.921631 77.995905
    Oben rechts KachelX + 1 14229 KachelY 18548 -2.45949851 1.36128535 -140.918884 77.995905
    Unten links KachelX 14228 KachelY + 1 18549 -2.45954645 1.36127538 -140.921631 77.995334
    Unten rechts KachelX + 1 14229 KachelY + 1 18549 -2.45949851 1.36127538 -140.918884 77.995334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36128535-1.36127538) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dl = 63.5188700001643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36128535-1.36127538) × R
    9.97000000002579e-06 × 6371000     		dr = 63.5188700001643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45954645--2.45949851) × cos(1.36128535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207981595126619 × 6371000     		do = 63.5229325978864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45954645--2.45949851) × cos(1.36127538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207991347099695 × 6371000     		du = 63.5259111014796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36128535)-sin(1.36127538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207981595126619-0.207991347099695)×R²
    abs(-2.45949851--2.45954645)×9.75197307592768e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.75197307592768e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.75197307592768e-06×40589641000000     		ar = 4034.99949320051m²