Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14228 / 18388
↖ ↑ ↗
← N 78.086961°
W140.921631°		 ← 63.05 m → N 78.086961°
W140.918884°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.086395°
W140.921631°		 ← 63.05 m →
3 973 m²		 N 78.086395°
W140.918884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108554840087891 y=0.140293121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108554840087891 × 217)
    floor (0.108554840087891 × 131072)
    floor (14228.5)     		tx = 14228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140293121337891 × 217)
    floor (0.140293121337891 × 131072)
    floor (18388.5)     		ty = 18388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14228 / 18388 ti = "17/14228/18388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14228/18388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14228 ÷ 217
    14228 ÷ 131072     		x = 0.108551025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18388 ÷ 217
    18388 ÷ 131072     		y = 0.140289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108551025390625 × 2 - 1) × π
    -0.78289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.45954645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140289306640625 × 2 - 1) × π
    0.71942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26012894328641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45954645} λ = -2.45954645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26012894328641))-π/2
    2×atan(9.5843249214449)-π/2
    2×1.46683545435818-π/2
    2.93367090871637-1.57079632675     		φ = 1.36287458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45954645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.921631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36287458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.086961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14228 KachelY 18388 -2.45954645 1.36287458 -140.921631 78.086961
    Oben rechts KachelX + 1 14229 KachelY 18388 -2.45949851 1.36287458 -140.918884 78.086961
    Unten links KachelX 14228 KachelY + 1 18389 -2.45954645 1.36286469 -140.921631 78.086395
    Unten rechts KachelX + 1 14229 KachelY + 1 18389 -2.45949851 1.36286469 -140.918884 78.086395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36287458-1.36286469) × R
    9.88999999984586e-06 × 6371000     		dl = 63.0091899990179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36287458-1.36286469) × R
    9.88999999984586e-06 × 6371000     		dr = 63.0091899990179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45954645--2.45949851) × cos(1.36287458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206426855242853 × 6371000     		do = 63.0480750183799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45954645--2.45949851) × cos(1.36286469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206436532222281 × 6371000     		du = 63.0510306169826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36287458)-sin(1.36286469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206426855242853-0.206436532222281)×R²
    abs(-2.45949851--2.45954645)×9.67697942777512e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.67697942777512e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.67697942777512e-06×40589641000000     		ar = 3972.70125297879m²