Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14225 / 7473
↖ ↑ ↗
← N 69.469116°
W 23.719483°		 ← 428.44 m → N 69.469116°
W 23.708496°		 →
↑
428.45 m
↓
↑
428.45 m
↓
N 69.465263°
W 23.719483°		 ← 428.52 m →
183 583 m²		 N 69.465263°
W 23.708496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.434127807617188 y=0.228073120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.434127807617188 × 215)
    floor (0.434127807617188 × 32768)
    floor (14225.5)     		tx = 14225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228073120117188 × 215)
    floor (0.228073120117188 × 32768)
    floor (7473.5)     		ty = 7473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14225 / 7473 ti = "15/14225/7473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14225/7473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14225 ÷ 215
    14225 ÷ 32768     		x = 0.434112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7473 ÷ 215
    7473 ÷ 32768     		y = 0.228057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.434112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.13177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41398307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228057861328125 × 2 - 1) × π
    0.54388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70866285005728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41398307} λ = -0.41398307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70866285005728))-π/2
    2×atan(5.52157336770709)-π/2
    2×1.39163056338519-π/2
    2.78326112677038-1.57079632675     		φ = 1.21246480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41398307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.719483°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21246480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.469116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14225 KachelY 7473 -0.41398307 1.21246480 -23.719483 69.469116
    Oben rechts KachelX + 1 14226 KachelY 7473 -0.41379132 1.21246480 -23.708496 69.469116
    Unten links KachelX 14225 KachelY + 1 7474 -0.41398307 1.21239755 -23.719483 69.465263
    Unten rechts KachelX + 1 14226 KachelY + 1 7474 -0.41379132 1.21239755 -23.708496 69.465263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21246480-1.21239755) × R
    6.72500000000742e-05 × 6371000     		dl = 428.449750000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21246480-1.21239755) × R
    6.72500000000742e-05 × 6371000     		dr = 428.449750000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41398307--0.41379132) × cos(1.21246480) × R
    0.000191749999999991 × 0.350712224895644 × 6371000     		do = 428.443819387325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41398307--0.41379132) × cos(1.21239755) × R
    0.000191749999999991 × 0.350775202603175 × 6371000     		du = 428.520755426719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21246480)-sin(1.21239755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350712224895644-0.350775202603175)×R²
    abs(-0.41379132--0.41398307)×6.29777075306648e-05×R²
    0.000191749999999991×6.29777075306648e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.29777075306648e-05×40589641000000     		ar = 183583.128988769m²