Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 14225 / 18515
↖ ↑ ↗
← N 78.014742°
W140.929871°		 ← 63.42 m → N 78.014742°
W140.927124°		 →
↑
63.46 m
↓
↑
63.46 m
↓
N 78.014171°
W140.929871°		 ← 63.43 m →
4 025 m²		 N 78.014171°
W140.927124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108531951904297 y=0.141262054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108531951904297 × 217)
    floor (0.108531951904297 × 131072)
    floor (14225.5)     		tx = 14225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141262054443359 × 217)
    floor (0.141262054443359 × 131072)
    floor (18515.5)     		ty = 18515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14225 / 18515 ti = "17/14225/18515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14225/18515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14225 ÷ 217
    14225 ÷ 131072     		x = 0.108528137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18515 ÷ 217
    18515 ÷ 131072     		y = 0.141258239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108528137207031 × 2 - 1) × π
    -0.782943725585938 × 3.1415926535     		Λ = -2.45969026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141258239746094 × 2 - 1) × π
    0.717483520507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.25404095703466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45969026} λ = -2.45969026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25404095703466))-π/2
    2×atan(9.52615293788065)-π/2
    2×1.46620521734742-π/2
    2.93241043469484-1.57079632675     		φ = 1.36161411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45969026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.929871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36161411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.014742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14225 KachelY 18515 -2.45969026 1.36161411 -140.929871 78.014742
    Oben rechts KachelX + 1 14226 KachelY 18515 -2.45964232 1.36161411 -140.927124 78.014742
    Unten links KachelX 14225 KachelY + 1 18516 -2.45969026 1.36160415 -140.929871 78.014171
    Unten rechts KachelX + 1 14226 KachelY + 1 18516 -2.45964232 1.36160415 -140.927124 78.014171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36161411-1.36160415) × R
    9.96000000008657e-06 × 6371000     		dl = 63.4551600005515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36161411-1.36160415) × R
    9.96000000008657e-06 × 6371000     		dr = 63.4551600005515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45969026--2.45964232) × cos(1.36161411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207660012973321 × 6371000     		do = 63.4247131307446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45969026--2.45964232) × cos(1.36160415) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.207669755845605 × 6371000     		du = 63.4276888547216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36161411)-sin(1.36160415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207660012973321-0.207669755845605)×R²
    abs(-2.45964232--2.45969026)×9.74287228402981e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.74287228402981e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.74287228402981e-06×40589641000000     		ar = 4024.71973235793m²