Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14222 / 18353
↖ ↑ ↗
← N 78.106789°
W140.938111°		 ← 62.94 m → N 78.106789°
W140.935364°		 →
↑
62.95 m
↓
↑
62.95 m
↓
N 78.106223°
W140.938111°		 ← 62.95 m →
3 962 m²		 N 78.106223°
W140.935364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108509063720703 y=0.140026092529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108509063720703 × 217)
    floor (0.108509063720703 × 131072)
    floor (14222.5)     		tx = 14222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140026092529297 × 217)
    floor (0.140026092529297 × 131072)
    floor (18353.5)     		ty = 18353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14222 / 18353 ti = "17/14222/18353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14222/18353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14222 ÷ 217
    14222 ÷ 131072     		x = 0.108505249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18353 ÷ 217
    18353 ÷ 131072     		y = 0.140022277832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108505249023438 × 2 - 1) × π
    -0.782989501953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.45983407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140022277832031 × 2 - 1) × π
    0.719955444335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.26180673477311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45983407} λ = -2.45983407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26180673477311))-π/2
    2×atan(9.6004189176134)-π/2
    2×1.46700848289786-π/2
    2.93401696579572-1.57079632675     		φ = 1.36322064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45983407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.938111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36322064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.106789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14222 KachelY 18353 -2.45983407 1.36322064 -140.938111 78.106789
    Oben rechts KachelX + 1 14223 KachelY 18353 -2.45978613 1.36322064 -140.935364 78.106789
    Unten links KachelX 14222 KachelY + 1 18354 -2.45983407 1.36321076 -140.938111 78.106223
    Unten rechts KachelX + 1 14223 KachelY + 1 18354 -2.45978613 1.36321076 -140.935364 78.106223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36322064-1.36321076) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dl = 62.9454799994051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36322064-1.36321076) × R
    9.87999999990663e-06 × 6371000     		dr = 62.9454799994051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45983407--2.45978613) × cos(1.36322064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206088236317284 × 6371000     		do = 62.94465208246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45983407--2.45978613) × cos(1.36321076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.206097904217338 × 6371000     		du = 62.9476049079882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36322064)-sin(1.36321076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206088236317284-0.206097904217338)×R²
    abs(-2.45978613--2.45983407)×9.66790005399454e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.66790005399454e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.66790005399454e-06×40589641000000     		ar = 3962.17427220448m²