Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 14221 / 18381
↖ ↑ ↗
← N 78.090930°
W140.940857°		 ← 63.01 m → N 78.090930°
W140.938111°		 →
↑
63.01 m
↓
↑
63.01 m
↓
N 78.090363°
W140.940857°		 ← 63.02 m →
3 971 m²		 N 78.090363°
W140.938111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108501434326172 y=0.140239715576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108501434326172 × 217)
    floor (0.108501434326172 × 131072)
    floor (14221.5)     		tx = 14221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140239715576172 × 217)
    floor (0.140239715576172 × 131072)
    floor (18381.5)     		ty = 18381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 14221 / 18381 ti = "17/14221/18381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/14221/18381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14221 ÷ 217
    14221 ÷ 131072     		x = 0.108497619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18381 ÷ 217
    18381 ÷ 131072     		y = 0.140235900878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.108497619628906 × 2 - 1) × π
    -0.783004760742188 × 3.1415926535     		Λ = -2.45988200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.140235900878906 × 2 - 1) × π
    0.719528198242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.26046450158375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.45988200} λ = -2.45988200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26046450158375))-π/2
    2×atan(9.58754156085154)-π/2
    2×1.46687008279477-π/2
    2.93374016558954-1.57079632675     		φ = 1.36294384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.45988200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -140.940857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36294384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.090930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14221 KachelY 18381 -2.45988200 1.36294384 -140.940857 78.090930
    Oben rechts KachelX + 1 14222 KachelY 18381 -2.45983407 1.36294384 -140.938111 78.090930
    Unten links KachelX 14221 KachelY + 1 18382 -2.45988200 1.36293395 -140.940857 78.090363
    Unten rechts KachelX + 1 14222 KachelY + 1 18382 -2.45983407 1.36293395 -140.938111 78.090363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36294384-1.36293395) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dl = 63.0091900004326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36294384-1.36293395) × R
    9.8900000000679e-06 × 6371000     		dr = 63.0091900004326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.45988200--2.45983407) × cos(1.36294384) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206359086467271 × 6371000     		do = 63.0142295526301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.45988200--2.45983407) × cos(1.36293395) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206368763588078 × 6371000     		du = 63.0171845778842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36294384)-sin(1.36293395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.206359086467271-0.206368763588078)×R²
    abs(-2.45983407--2.45988200)×9.67712080665595e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.67712080665595e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.67712080665595e-06×40589641000000     		ar = 3970.56865944652m²