Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1422 / 2969
↖ ↑ ↗
← S 62.633769°
W 55.019531°		 ← 4 492.41 m → S 62.633769°
W 54.931640°		 →
↑
4 489.39 m
↓
↑
4 489.39 m
↓
S 62.674144°
W 55.019531°		 ← 4 486.29 m →
20 154 453 m²		 S 62.674144°
W 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3472900390625 y=0.7249755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3472900390625 × 212)
    floor (0.3472900390625 × 4096)
    floor (1422.5)     		tx = 1422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7249755859375 × 212)
    floor (0.7249755859375 × 4096)
    floor (2969.5)     		ty = 2969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1422 / 2969 ti = "12/1422/2969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1422/2969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1422 ÷ 212
    1422 ÷ 4096     		x = 0.34716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2969 ÷ 212
    2969 ÷ 4096     		y = 0.724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34716796875 × 2 - 1) × π
    -0.3056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96027197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.44970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41279630560229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96027197} λ = -0.96027197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41279630560229))-π/2
    2×atan(0.243461537551748)-π/2
    2×0.238815412110301-π/2
    0.477630824220602-1.57079632675     		φ = -1.09316550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96027197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09316550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.633769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1422 KachelY 2969 -0.96027197 -1.09316550 -55.019531 -62.633769
    Oben rechts KachelX + 1 1423 KachelY 2969 -0.95873799 -1.09316550 -54.931640 -62.633769
    Unten links KachelX 1422 KachelY + 1 2970 -0.96027197 -1.09387016 -55.019531 -62.674144
    Unten rechts KachelX + 1 1423 KachelY + 1 2970 -0.95873799 -1.09387016 -54.931640 -62.674144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09316550--1.09387016) × R
    0.000704660000000024 × 6371000     		dl = 4489.38886000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09316550--1.09387016) × R
    0.000704660000000024 × 6371000     		dr = 4489.38886000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96027197--0.95873799) × cos(-1.09316550) × R
    0.00153397999999993 × 0.459676436924847 × 6371000     		do = 4492.41164920855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96027197--0.95873799) × cos(-1.09387016) × R
    0.00153397999999993 × 0.459050523841437 × 6371000     		du = 4486.29460904414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09316550)-sin(-1.09387016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459676436924847-0.459050523841437)×R²
    abs(-0.95873799--0.96027197)×0.000625913083410035×R²
    0.00153397999999993×0.000625913083410035×6371000²
    0.00153397999999993×0.000625913083410035×40589641000000     		ar = 20154452.7604767m²