Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14219 / 9901
↖ ↑ ↗
← N 77.258114°
W101.892700°		 ← 134.71 m → N 77.258114°
W101.887207°		 →
↑
134.75 m
↓
↑
134.75 m
↓
N 77.256902°
W101.892700°		 ← 134.73 m →
18 153 m²		 N 77.256902°
W101.887207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216972351074219 y=0.151084899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216972351074219 × 216)
    floor (0.216972351074219 × 65536)
    floor (14219.5)     		tx = 14219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151084899902344 × 216)
    floor (0.151084899902344 × 65536)
    floor (9901.5)     		ty = 9901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14219 / 9901 ti = "16/14219/9901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14219/9901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14219 ÷ 216
    14219 ÷ 65536     		x = 0.216964721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9901 ÷ 216
    9901 ÷ 65536     		y = 0.151077270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216964721679688 × 2 - 1) × π
    -0.566070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77836310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151077270507812 × 2 - 1) × π
    0.697845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19234616722365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77836310} λ = -1.77836310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19234616722365))-π/2
    2×atan(8.95620123003148)-π/2
    2×1.45960239426199-π/2
    2.91920478852397-1.57079632675     		φ = 1.34840846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77836310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.892700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34840846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.258114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14219 KachelY 9901 -1.77836310 1.34840846 -101.892700 77.258114
    Oben rechts KachelX + 1 14220 KachelY 9901 -1.77826723 1.34840846 -101.887207 77.258114
    Unten links KachelX 14219 KachelY + 1 9902 -1.77836310 1.34838731 -101.892700 77.256902
    Unten rechts KachelX + 1 14220 KachelY + 1 9902 -1.77826723 1.34838731 -101.887207 77.256902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34840846-1.34838731) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dl = 134.746650000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34840846-1.34838731) × R
    2.11500000000253e-05 × 6371000     		dr = 134.746650000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77836310--1.77826723) × cos(1.34840846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22055931181851 × 6371000     		do = 134.714930218359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77836310--1.77826723) × cos(1.34838731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220579940920063 × 6371000     		du = 134.727530221294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34840846)-sin(1.34838731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22055931181851-0.220579940920063)×R²
    abs(-1.77826723--1.77836310)×2.06291015532323e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06291015532323e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06291015532323e-05×40589641000000     		ar = 18153.2344566794m²