Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14219 / 11021
↖ ↑ ↗
← N 50.645977°
W 23.785400°		 ← 774.65 m → N 50.645977°
W 23.774414°		 →
↑
774.71 m
↓
↑
774.71 m
↓
N 50.639010°
W 23.785400°		 ← 774.77 m →
600 179 m²		 N 50.639010°
W 23.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433944702148438 y=0.336349487304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433944702148438 × 215)
    floor (0.433944702148438 × 32768)
    floor (14219.5)     		tx = 14219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336349487304688 × 215)
    floor (0.336349487304688 × 32768)
    floor (11021.5)     		ty = 11021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14219 / 11021 ti = "15/14219/11021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14219/11021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14219 ÷ 215
    14219 ÷ 32768     		x = 0.433929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11021 ÷ 215
    11021 ÷ 32768     		y = 0.336334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.13214111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41513355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336334228515625 × 2 - 1) × π
    0.32733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02834237064944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41513355} λ = -0.41513355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02834237064944))-π/2
    2×atan(2.79642655192658)-π/2
    2×1.22736769213108-π/2
    2.45473538426215-1.57079632675     		φ = 0.88393906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41513355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.785400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88393906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.645977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14219 KachelY 11021 -0.41513355 0.88393906 -23.785400 50.645977
    Oben rechts KachelX + 1 14220 KachelY 11021 -0.41494180 0.88393906 -23.774414 50.645977
    Unten links KachelX 14219 KachelY + 1 11022 -0.41513355 0.88381746 -23.785400 50.639010
    Unten rechts KachelX + 1 14220 KachelY + 1 11022 -0.41494180 0.88381746 -23.774414 50.639010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88393906-0.88381746) × R
    0.000121599999999944 × 6371000     		dl = 774.713599999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88393906-0.88381746) × R
    0.000121599999999944 × 6371000     		dr = 774.713599999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41513355--0.41494180) × cos(0.88393906) × R
    0.000191749999999991 × 0.63411022228753 × 6371000     		do = 774.653936372633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41513355--0.41494180) × cos(0.88381746) × R
    0.000191749999999991 × 0.634204243907759 × 6371000     		du = 774.768796874254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88393906)-sin(0.88381746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63411022228753-0.634204243907759)×R²
    abs(-0.41494180--0.41513355)×9.4021620229312e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4021620229312e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4021620229312e-05×40589641000000     		ar = 600179.432537226m²