Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14218 / 21706
↖ ↑ ↗
← S 50.359480°
W 23.796387°		 ← 779.37 m → S 50.359480°
W 23.785400°		 →
↑
779.30 m
↓
↑
779.30 m
↓
S 50.366489°
W 23.796387°		 ← 779.25 m →
607 317 m²		 S 50.366489°
W 23.785400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433914184570312 y=0.662429809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433914184570312 × 215)
    floor (0.433914184570312 × 32768)
    floor (14218.5)     		tx = 14218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662429809570312 × 215)
    floor (0.662429809570312 × 32768)
    floor (21706.5)     		ty = 21706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14218 / 21706 ti = "15/14218/21706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14218/21706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14218 ÷ 215
    14218 ÷ 32768     		x = 0.43389892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21706 ÷ 215
    21706 ÷ 32768     		y = 0.66241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43389892578125 × 2 - 1) × π
    -0.1322021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.41532530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.3248291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02048071911176
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41532530} λ = -0.41532530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02048071911176))-π/2
    2×atan(0.360421636952157)-π/2
    2×0.345928792588609-π/2
    0.691857585177218-1.57079632675     		φ = -0.87893874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41532530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.796387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87893874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.359480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14218 KachelY 21706 -0.41532530 -0.87893874 -23.796387 -50.359480
    Oben rechts KachelX + 1 14219 KachelY 21706 -0.41513355 -0.87893874 -23.785400 -50.359480
    Unten links KachelX 14218 KachelY + 1 21707 -0.41532530 -0.87906106 -23.796387 -50.366489
    Unten rechts KachelX + 1 14219 KachelY + 1 21707 -0.41513355 -0.87906106 -23.785400 -50.366489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87893874--0.87906106) × R
    0.000122319999999898 × 6371000     		dl = 779.300719999351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87893874--0.87906106) × R
    0.000122319999999898 × 6371000     		dr = 779.300719999351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41532530--0.41513355) × cos(-0.87893874) × R
    0.000191749999999991 × 0.637968739584697 × 6371000     		do = 779.367652549656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41532530--0.41513355) × cos(-0.87906106) × R
    0.000191749999999991 × 0.637874540796345 × 6371000     		du = 779.252575612503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87893874)-sin(-0.87906106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637968739584697-0.637874540796345)×R²
    abs(-0.41513355--0.41532530)×9.4198788351707e-05×R²
    0.000191749999999991×9.4198788351707e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.4198788351707e-05×40589641000000     		ar = 607316.93376348m²