Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 14216 / 21704
↖ ↑ ↗
← S 50.345461°
W 23.818359°		 ← 779.56 m → S 50.345461°
W 23.807373°		 →
↑
779.49 m
↓
↑
779.49 m
↓
S 50.352471°
W 23.818359°		 ← 779.44 m →
607 614 m²		 S 50.352471°
W 23.807373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433853149414062 y=0.662368774414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433853149414062 × 215)
    floor (0.433853149414062 × 32768)
    floor (14216.5)     		tx = 14216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662368774414062 × 215)
    floor (0.662368774414062 × 32768)
    floor (21704.5)     		ty = 21704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14216 / 21704 ti = "15/14216/21704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14216/21704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14216 ÷ 215
    14216 ÷ 32768     		x = 0.433837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21704 ÷ 215
    21704 ÷ 32768     		y = 0.662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.13232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.41570879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662353515625 × 2 - 1) × π
    -0.32470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.02009722391479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41570879} λ = -0.41570879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02009722391479))-π/2
    2×atan(0.360559883425544)-π/2
    2×0.34605113962545-π/2
    0.6921022792509-1.57079632675     		φ = -0.87869405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41570879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.818359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87869405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.345461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14216 KachelY 21704 -0.41570879 -0.87869405 -23.818359 -50.345461
    Oben rechts KachelX + 1 14217 KachelY 21704 -0.41551705 -0.87869405 -23.807373 -50.345461
    Unten links KachelX 14216 KachelY + 1 21705 -0.41570879 -0.87881640 -23.818359 -50.352471
    Unten rechts KachelX + 1 14217 KachelY + 1 21705 -0.41551705 -0.87881640 -23.807373 -50.352471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87869405--0.87881640) × R
    0.000122350000000049 × 6371000     		dl = 779.491850000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87869405--0.87881640) × R
    0.000122350000000049 × 6371000     		dr = 779.491850000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41570879--0.41551705) × cos(-0.87869405) × R
    0.000191739999999996 × 0.638157147019085 × 6371000     		do = 779.557161474681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41570879--0.41551705) × cos(-0.87881640) × R
    0.000191739999999996 × 0.638062944227328 × 6371000     		du = 779.442085648471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87869405)-sin(-0.87881640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638157147019085-0.638062944227328)×R²
    abs(-0.41551705--0.41570879)×9.42027917565369e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42027917565369e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42027917565369e-05×40589641000000     		ar = 607613.604402991m²