Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14213 / 10621
↖ ↑ ↗
← N 76.355784°
W101.925659°		 ← 144.08 m → N 76.355784°
W101.920166°		 →
↑
144.11 m
↓
↑
144.11 m
↓
N 76.354488°
W101.925659°		 ← 144.09 m →
20 765 m²		 N 76.354488°
W101.920166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216880798339844 y=0.162071228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216880798339844 × 216)
    floor (0.216880798339844 × 65536)
    floor (14213.5)     		tx = 14213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162071228027344 × 216)
    floor (0.162071228027344 × 65536)
    floor (10621.5)     		ty = 10621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14213 / 10621 ti = "16/14213/10621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14213/10621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14213 ÷ 216
    14213 ÷ 65536     		x = 0.216873168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10621 ÷ 216
    10621 ÷ 65536     		y = 0.162063598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216873168945312 × 2 - 1) × π
    -0.566253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.77893834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.162063598632812 × 2 - 1) × π
    0.675872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12331703177077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77893834} λ = -1.77893834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12331703177077))-π/2
    2×atan(8.35881801864124)-π/2
    2×1.45172808337378-π/2
    2.90345616674756-1.57079632675     		φ = 1.33265984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77893834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.925659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33265984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.355784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14213 KachelY 10621 -1.77893834 1.33265984 -101.925659 76.355784
    Oben rechts KachelX + 1 14214 KachelY 10621 -1.77884247 1.33265984 -101.920166 76.355784
    Unten links KachelX 14213 KachelY + 1 10622 -1.77893834 1.33263722 -101.925659 76.354488
    Unten rechts KachelX + 1 14214 KachelY + 1 10622 -1.77884247 1.33263722 -101.920166 76.354488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33265984-1.33263722) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dl = 144.112019999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33265984-1.33263722) × R
    2.26199999999732e-05 × 6371000     		dr = 144.112019999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77893834--1.77884247) × cos(1.33265984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235892113599397 × 6371000     		do = 144.080018025959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77893834--1.77884247) × cos(1.33263722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.235914095185681 × 6371000     		du = 144.093444110027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33265984)-sin(1.33263722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235892113599397-0.235914095185681)×R²
    abs(-1.77884247--1.77893834)×2.19815862844142e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19815862844142e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19815862844142e-05×40589641000000     		ar = 20764.6298704294m²