Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 14211 / 11019
↖ ↑ ↗
← N 50.659908°
W 23.873291°		 ← 774.42 m → N 50.659908°
W 23.862304°		 →
↑
774.46 m
↓
↑
774.46 m
↓
N 50.652944°
W 23.873291°		 ← 774.54 m →
599 804 m²		 N 50.652944°
W 23.862304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.433700561523438 y=0.336288452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.433700561523438 × 215)
    floor (0.433700561523438 × 32768)
    floor (14211.5)     		tx = 14211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336288452148438 × 215)
    floor (0.336288452148438 × 32768)
    floor (11019.5)     		ty = 11019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 14211 / 11019 ti = "15/14211/11019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/14211/11019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14211 ÷ 215
    14211 ÷ 32768     		x = 0.433685302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11019 ÷ 215
    11019 ÷ 32768     		y = 0.336273193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433685302734375 × 2 - 1) × π
    -0.13262939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41666753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336273193359375 × 2 - 1) × π
    0.32745361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02872586584641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41666753} λ = -0.41666753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02872586584641))-π/2
    2×atan(2.79749917373741)-π/2
    2×1.22748926321663-π/2
    2.45497852643325-1.57079632675     		φ = 0.88418220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41666753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.873291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88418220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.659908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14211 KachelY 11019 -0.41666753 0.88418220 -23.873291 50.659908
    Oben rechts KachelX + 1 14212 KachelY 11019 -0.41647578 0.88418220 -23.862304 50.659908
    Unten links KachelX 14211 KachelY + 1 11020 -0.41666753 0.88406064 -23.873291 50.652944
    Unten rechts KachelX + 1 14212 KachelY + 1 11020 -0.41647578 0.88406064 -23.862304 50.652944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88418220-0.88406064) × R
    0.000121560000000076 × 6371000     		dl = 774.458760000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88418220-0.88406064) × R
    0.000121560000000076 × 6371000     		dr = 774.458760000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41666753--0.41647578) × cos(0.88418220) × R
    0.000191749999999991 × 0.633922197323346 × 6371000     		do = 774.424237696406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41666753--0.41647578) × cos(0.88406064) × R
    0.000191749999999991 × 0.634016206757387 × 6371000     		du = 774.539083310901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88418220)-sin(0.88406064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633922197323346-0.634016206757387)×R²
    abs(-0.41647578--0.41666753)×9.40094340414754e-05×R²
    0.000191749999999991×9.40094340414754e-05×6371000²
    0.000191749999999991×9.40094340414754e-05×40589641000000     		ar = 599804.107174962m²