Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 14211 / 10373
↖ ↑ ↗
← N 76.673456°
W101.936645°		 ← 140.79 m → N 76.673456°
W101.931152°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
N 76.672189°
W101.936645°		 ← 140.80 m →
19 824 m²		 N 76.672189°
W101.931152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 14211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.216850280761719 y=0.158287048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.216850280761719 × 216)
    floor (0.216850280761719 × 65536)
    floor (14211.5)     		tx = 14211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158287048339844 × 216)
    floor (0.158287048339844 × 65536)
    floor (10373.5)     		ty = 10373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 14211 / 10373 ti = "16/14211/10373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/14211/10373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 14211 ÷ 216
    14211 ÷ 65536     		x = 0.216842651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10373 ÷ 216
    10373 ÷ 65536     		y = 0.158279418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.216842651367188 × 2 - 1) × π
    -0.566314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.77913009
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158279418945312 × 2 - 1) × π
    0.683441162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14709373398232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.77913009} λ = -1.77913009}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14709373398232))-π/2
    2×atan(8.55994473535177)-π/2
    2×1.45450028699921-π/2
    2.90900057399841-1.57079632675     		φ = 1.33820425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.77913009} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -101.936645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33820425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.673456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 14211 KachelY 10373 -1.77913009 1.33820425 -101.936645 76.673456
    Oben rechts KachelX + 1 14212 KachelY 10373 -1.77903422 1.33820425 -101.931152 76.673456
    Unten links KachelX 14211 KachelY + 1 10374 -1.77913009 1.33818215 -101.936645 76.672189
    Unten rechts KachelX + 1 14212 KachelY + 1 10374 -1.77903422 1.33818215 -101.931152 76.672189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33820425-1.33818215) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dl = 140.799100000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33820425-1.33818215) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dr = 140.799100000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.77913009--1.77903422) × cos(1.33820425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230500572903112 × 6371000     		do = 140.786930907211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.77913009--1.77903422) × cos(1.33818215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230522077742208 × 6371000     		du = 140.800065799927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33820425)-sin(1.33818215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230500572903112-0.230522077742208)×R²
    abs(-1.77903422--1.77913009)×2.15048390958261e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15048390958261e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15048390958261e-05×40589641000000     		ar = 19823.5978548163m²